21 ABAQUS用户材料子程序(UMAT)
虽然ABAQUS为用户提供了大量的单元库和求解模型，使用户能够利用这些模型处理绝大多数的问题；但是实际问题毕竟非常复杂，ABAQUS不可能直接求解所有可能出现的问题。所以ABAQUS提供了大量的用户自定义子程序（User Subroutine），允许用户在找不到合适模型的情况下自行定义符合自己问题的模型。这些用户子程序涵盖了建模、载荷到单元的几乎各个部分。
用户子程序具有以下的功能和特点：（1）如果ABAQUS的一些固有选项模型功能有限，用户子程序可以提高ABAQUS中这些选项的功能；（2）通常用户子程序是用FORTRAN语言的代码写成；（3）它可以以几种不同的方式包含在模型中；（4）由于它们没有存储在restart文件中，如果需要的话，可以在重新开始运行时修改它；（5）在某些情况下它可以利用ABAQUS允许的已有程序。
要在模型中包含用户子程序，可以利用ABAQUS执行程序，在执行程序中应用user选项指明包含这些子程序的FORTRAN源程序或者目标程序的名字。
提示：ABAQUS的输入文件除了可以通过ABAQUS/CAE的作业模块中提交运行外，还可以在ABAQUS Command窗口中输入ABAQUS执行程序直接运行： ABAQUS job=输入文件名 user=用户子程序的Fortran文件名
ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit都支持用户子程序功能，但是他们所支持的用户子程序种类不尽相同，读者在需要使用时请注意查询手册。
在接下来的两章里，我们将讨论两种常用的用户子程序——用户材料子程序和用户
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单元子程序。
本章将通过在ABAQUS/Standard中创建Johnson-Cook的材料模型，介绍编写ABAQUS/Standard的用户材料子程序UMAT。在ABAQUS/Explicit中编写用户材料子程序VUMAT与之相似，但是由于隐式和显式两种方法本身的差异，它们之间也有一些不同，请读者在具体使用前仔细查阅ABAQUS手册中的相关内容。
21.1 引言
用户材料子程序是ABAQUS提供给用户自定义材料属性的Fortran程序接口，它使用户能使用ABAQUS材料库中没有的材料模型。ABAQUS中自有的Johnson-Cook模型只能应用于显式ABAQUS/Explicit程序中，而我们希望能在隐式ABAQUS/Standard程序中更精确地实现本构积分，而且应用Johnson-Cook模型的修正形式。这就需要通过ABAQUS/Standard的用户材料子程序UMAT编程实现。在UMAT编程中使用了率相关塑性理论以及完全隐式的应力更新算法。
21.2 模型的数学描述
21.2.1 Johnson-Cook强化模型简介
Johnson-Cook模型用来模拟在冲击载荷作用下的变形。Johnson-Cook强化模型（JC）表示为三项的乘积，分别反映了应变硬化、应变率硬化和温度软化。这里使用JC模型的修正形式：
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???A?B?n??????*m1?Cln1???????1?T??0???????
(21-1)
模型中包含A,B,n,C,m五个参数，需要通过实验来确定。使参考应变率??0?1，这样公式中的A即为材料的静态屈服应力。公式中的T*为无量纲化的温度
T?TrTm?Tr
T?*
其中Tr为室温，Tm为材料的熔点。Johnson-Cook模型在温度从室温到材料熔点温度的范围内都是有效的。
高应变率的变形经常伴有温升现象，这是因为材料变形过程中塑性功转化为热量。对于大多数金属，90-100％的塑性变形将耗散为热量。所以JC模型中温度的变化可以用如下的公式计算：
?T?????d? ??c?(21-2)
其中，?T为温度的增量，?为塑性耗散比，表示塑性功转化为热量的比例，c为材料的比热，?为材料的密度。公式（21-2）考虑的是一个绝热过程，即认为温度的升高完全起因于塑性耗散。
21.2.2 率相关塑性的基本公式
Johnson-Cook本构模型考虑率相关塑性，塑性变形是关联的，即塑性流动沿着屈服面的法线方向，并采用Mises屈服面。
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将应变的增量分解为弹性部分和塑性部分：
d??d?ep?d?
(21-3)
将上式两端同时对时间的增量dt微分得到率形式：
????e???p ?(21-4)
在率相关塑性中，材料的塑性反应取决于加载率，以率的形式给出材料的弹性反应：
??E(????) ??E??ep(21-5)
为了发生塑性变形，率相关塑性必须满足或者超过屈服条件，塑性应变率为：
p???，?????，??????，???? ??????(21-6)
?为塑性率参数，?为运动硬化时的背上式即为流动法则，其中?为塑性流动势能，?应力。
对于各项同性硬化，不存在背应力，因此有??0，此时有：
?????sign??? ??p???????sign??? ??????????(21-7)
(21-8)
与率无关塑性不同的是，率相关塑性中等效塑性应变率不能通过一致性条件获得，而是直接通过经验定律给出，成为过应力模型：
????(?,?,?)? (21-9)
式中?是过应力，?为粘性。在过应力模型中，等效塑性应变率取决于超过了多少屈服应力。
上面一维的率相关塑性公式可以很方便地推广到三维情况。对于小应变的情形，应
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力度量之间无需区分，这里采用Cauchy应力σ，塑性率参数由应力和内变量的经验函数给出。对照一维情况，三维情况下分解应变率为弹性和塑性部分：
应力率和弹性应变率之间的关系为：
??C:ε?e?C:?ε??ε?p? σ??ε?e?ε?p ε(21-10)
(21-11)
塑性流动法则和内变量的演化方程为：
塑性率参数为：
????r?σ,q?，q?h ?p?????ε(21-12)
??σ,q?? (21-13)
对于J2流动理论，Perzyna（1971）中提出了典型的过应力模型为：
???Y?????Y??n??1 (21-14)
式中为Macualay括号，如果f?0，则f?f；如果f?0，则f?0。?为
Mises等效应力，?为等效应变，n为率敏感系数。
对于Johnson-Cook模型，可以得到等效塑性应变率的表达式为：
???exp??1??????C???0????1???1 ?????(21-15)
其中?0为静态屈服应力。
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