相似三角形基本模型与证明
一、基本图形回顾
经典模型
∽平移平行型旋转180°平行型翻折180°翻折180°一般特殊斜交型斜交型特殊一般平移双垂直斜交型特殊一般双垂直一边平移翻折180°
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构造相似辅助线——双垂直模型
1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．
2.在△ABC中，AB=
，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角
形，求线段CD的长．
3.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．
4.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
2
5.已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。
构造相似辅助线——A、X字型 6.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证：
7.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：
8.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。 求BN：NQ：QM．
相似之共线线段的比例问题
3
9.（1）如图1，点Q，S，交
在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点
．求证：
或
的延长线上时，
是否
于点
（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线
仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
4
10.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP＝PE·PF ．
2
11.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF
2
于G，交AC延长线于H。求证： DE=EG?EH
12.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
求证：
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