第四章 矩阵力学基础(II)――表象理论
一、概念与名词解释
1. 表象
2. 幺正矩阵，幺正变换 3. 占有数表象
4. 薛定谔绘景，海森伯绘景
二、计算
1.
?、B?设厄米算符A满足A22?B??0,??B?A?B?1,A求：
?、B??表象中，算符A(1) 在A的矩阵表示；
?、B??表象中，算符A(2) 在B的矩阵表示；
??的本征值和本征函数； (3) 在A表象中，算符B?的本征值和本征函数； ?表象中，算符A(4) 在B?表象到B?表象的幺征变换矩阵S. (5) 由A2. 求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和Lx2的矩阵元.
3. 设粒子处于宽度为a的无限深方势阱中，求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示.
4. 在Lz的矩阵表示.
5. 已知在L2和Lz的共同表象中，算符Lx和Ly的矩阵分别为
?02?Lx???12??01010??1?;0???0 ?i0??2?Ly???i0?i?2???0i 0?表象中，求?(?)?Csin?2
求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将Lx和Ly对角化. 6. 在动量表象中，求处于一维均匀场V(x)= -Fx中粒子的能量本征矢. 7. 在动量表象中，求线谐振子哈密顿算符的矩阵元和能量本征值. 8.
? 0a?exp???a 0????试将
表示为2×2的矩阵，a是个正的常数.
?p，计算它的极化矢量
9. 已知波函数
?1???0?????ei?cos???????ei?sin????，并求能将χ旋转为
态的转动矩阵UR.
，计算矩
10.
?21?p22????x?n?Enn?2?2?已知线谐振子满足能量本征方程?阵元
??、S11. 处在三维空间体系的基矢分别为|u1>、|u2>和|u3>.已知算符L分
?u?u,L?u?0,L?u??uL11233?、L??、S?及S别满足Su1?u3,Su2?u2,Su3?u1.,给出算符L的矩阵表示.
12. 处于三维空间体系的基矢分别为|u1>、|u2>和|u3>.已知两个状态分
22????0?u1/2?iu2/2?u3/2别为?1?u1/3?iu3/3.,求此二状态的投影算符的矩阵表示.
13. 在海森伯绘景中求线谐振子的坐标与动量算符. 14. 求自由粒子坐标算符的海森伯表示.
三、证明
1. 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
2. 如果体系的哈密顿量不显含时间，证明下列求和规则 ?(E-E)x??/2m.式中x是坐标，En、Em是相应于n态和m态
的能量，求和对一切可能的状态进行.
3. 设U是幺正算符，U?(U?U)/2?i[(U-U)/2i]?A?iB. 证明： (1) A和B均为厄米算符，且A2+B2=1； (2) [A,B]=0，因而A,B可以同时对角化；
22nmnmn??(3) 设算符A、B的共同本征态为
U'?A'?iB'，U'?1，U'?eiH'A',B'，本征值分别为A'和B'，则
而有
因此可令
)/(1-itgU?eH’/2iHA'?cosH'，B'?sinH'(H'为实数)，从
H/2?(1?itgH'/2)；
(4) 证明U可表示为
?(1?itg)/(1-itgH/2)，H厄米.
4. 证明矩阵的迹与表象的选择无关，即i5. 证明Tr(|u>
?已知S?、B?是幺正矩阵，A??u?uiAi?j?vvjAj
证
?为任意厄米矩阵，且A满足
???a? ，Annn??A?S?)S????aS??? , S??[A?,B??[S??A?S?,S??B?]?]S?S(Snnn明：
??A?S?)?TrA? , det(S??A?S?)?detA?.Tr(S四、综合题
??0，A?A??A?A??1，B?A?，??A??B?，?、B? 证明B 并1. 已知算符A满足A?在B表象中求出A的矩阵表示.
?、B???B??1，?－C?B?. ?、C??C?C??iA B2. 设算符A满足A求证：
??????????、C 并在A表象中求出B AB?BA?AC?CA?0，的矩阵表示.
2???2222?和力学量算符B?的矩阵形式分别为 3. 已知体系的哈密顿算符H
其中b，ω为实常数. 证明上述两算符都是厄米算符，并且互相对易. 求出它们的共同本征函数系.
4. 一个线性谐振子处在一个空间均匀的外力场F(t)=Cθ(t)e-λt中，其中λ是正常数，θ(t)是阶梯函数.若振子在t=0时处于基态，计算在时刻t振子处在量子数n的|n>态的概率. 若C＝(?mλ3)1/2，m是质量，计算这个跃迁概率随n和随λ/ω的变化，其中ω是振子的自然振动概率.
5. 一个质量为m的粒子处在一维谐振子的势阱中，V1=kx2/2.
(1) 粒子最初处在基态，弹性系数突然加倍(k→2k)，这样新的势阱是V2=kx2.现在测量粒子的能量，求发现粒子在新势阱V2的基态的概率.
(2) 弹性系数和(1)一样突然加倍，所以V1突变为V2.但是在新势阱中粒子的能量没有被测量.在经过t时间后，弹性系数突然回到了初值.问t等于多少时能使粒子态完全恢复到V1的基态？
6. 由下述三个纯态不相干混合而成的角动量为1的粒子体系，假定每个态都等概率.这三个态是：
?(1)?100????H????0 -10?;?00 -1????1 0??B?b?0 0?01?0??1?0??
(1) 求这个体系的密度矩阵ρ，并证明Trρ＝1；
(2) 选?＝1，角动量为1的矩阵由题(二.5)的矩阵给出，求Lx、Ly、Lz的平均值.
7. 讨论两个具有同样振动频率ω0的谐振子.它们的产生和湮没算符
[a1,a1]?1, [a1,a2]?0, [a1,a2]?0???1??0??0??0?????????11(2)(3)??0? ; ???1???1? ; ???0?22?0??0??0??1?????????满足
当将两个振子分开时，它们的哈密顿量分别为H1=?ω0a1+a1，H2= ?ω0a2+a2，这里略去了零点能?ω0/2，令|n1,n2>是H1和H2具有相应本征值为n1?ω0和n2?ω0的共同本征函数.当两振子有相互作用后，
2i,j?1体系哈密顿量
g是正的实数.由于有g的耦合项，|n1,n2>不再是H的本征函数 (1) 使矩阵Mij对角化，求偶合体系所容许的能量. 设体系在t=0是处在|n1=1,n2=0>态，求：
[a2,a2]?1, [a1,a2]?0, [a1,a2]?0????H???0aa1???0aa2?gaa2?gaa1??1?2?1?2?a?iMijaj(2) 体系在t>0时的本征矢；
(3) 计算在t>0时，体系处在|n1=0,n2=1>态的概率.
8. 求相干态随时间的变化仍然保持为相干态的条件？为澄清相位的贡献，试再用密度矩阵方法讨论这个问题.
9. 讨论两个由同样的谐振子组成的体系：体系A中有半数振子处在基态，半数振子处在第一激发态；体系B中所有振子在t=0时均处在[0?1]/2态，求：
(1) 在t=0时，体系A和体系B的密度矩阵ρA和ρB； (2) 对于这两个体系，x的平均值 是否随t变化？说明理由.