教学内容概要
高中数学备课组 日期： 教师： 上课时间： 年级：高三 学生： 主课题：运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式 教学目标： 1、函数单调性的定义与逆用； 2、函数奇偶性的定义与性质； 3、抽象函数性质的提取，抽象函数不等式的转换； 4、会解决转化后的不等式恒成立问题； 教学重点： 1、函数的奇偶性、单调性等性质； 2、利用函数单调性脱掉“f”号，解不等式； 3、不等式恒成立问题的解法； 教学难点： 1、利用函数单调性脱掉“f”号，解不等式； 2、不等式恒成立问题的解法； 家庭作业 1、复习知识点，归纳整理错题、难题； 2、完成巩固练习；
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教学内容
【知识精讲】
一、常见的抽象函数模型：
①正比例函数模型：f?x??kx,k?0┄┄┄f?x?y??f?x??f?y?。 ②幂函数模型：f?x??x2┄┄┄f?xy??f?x??f?y?；f??y???f?y?。
??③指数函数模型：f?x??ax┄┄┄f?x?y??f?x??f?y?；f?x?y???x?f?x?f?x?。 f?y?④对数函数模型：f?x??logax┄┄f?xy??f?x??f?y?；f??⑤三角函数模型：f?x??tanx┄┄┄f?x?y??
?x???f?x??f?y?。 ??y?f?x??f?y?。 1?f?x??f?y?如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。
二、奇偶函数的性质：
奇函数：（1）f??x???f?x?；
（2）若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0； （3）图像关于原点对称；
（4）y轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）f??x??f?x?； （3）图像关于y轴对称； （4）y轴左右两侧的单调性相反；
三、函数单调性的逆用：
若f(x)在区间D上递增，则f(x1)?f(x2)?x1?x2(x1,x2?D)；
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若f(x)在区间D上递减，则f(x1)?f(x2)?x1?x2.(x1,x2?D).
四、不等式恒成立问题的解法
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。
【经典例题】
例1、求函数y?1log1?3?1??3x2的定义域。
解：依题意有log13?1?3?0，即log13?1??3?log18
2xx??3?1?0??3?1得?x即?x ??3?1?8??3?9?x??x?22所以所求函数的定义域为?0,2?。
例2、已知奇函数f?x?是定义在?1,1上的减函数，解不等式f?2x?1??0。 解：∵f?x?是定义在?1,1上的奇函数
∴f?0??0
∴原不等式可转化为f?2x?1??f?0?
??????1?2x?1?1∴?
2x?1?0?解得x??0,?。
归纳方法：1、观察不等式两端的特点，化为同类函数； 2、借助函数的单调性，脱掉“f”；
3、注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0。
2例3、f?x?是定义在??1,1?上的奇函数且单调递减，若f?2?a??f4?a?0，则a?1??2???3
的取值范围是（ A ） A.
?3,2 B.??,3??2,??? C.
????5,3 D.??,5??3,???
???解：∵f?x?是奇函数
所以f??x???f?x?
由f?2?a??f4?a2?0得：f?2?a???f4?a2?fa2?4 ∵f?x?在??1,1?上单调递减
????????1?2?a?1?∴??1?4?a2?1解得a??2?a?4?a2?
?3,2。
?例4、（引例）已知奇函数f(x)的定义域为[?2,2]，且在区间[?2,0]内单调递减，求满足
f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围．
解：∵f(x)的定义域为[?2,2]， ∴有???2?1?m?2，解得?1?m?3① 2??2?1?m?22由f(1?m)?f(1?m)?0 ∴f(1?m)??f(1?m2)
又由f(x)为奇函数，得?f(1?m2)?f(m2?1) ∴f(1?m)?f(m?1) 又f(x)为奇函数，且在[?2,0]上单调递减， ∴f(x)在[?2,2]上单调递减．（要证明） ∴1?m?m2?1. 即?2?m?1②
综合①②，可知?1?m?1.
2（拓展）设f?x?是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f?x??x，若对任意的
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x??t,t?2?，不等式f?x?t??2f?x?恒成立，则实数t的取值范围是 ( )
A．?2,?? B．2,???
???C．?0,2 D．??2,?1???2,3? ?????
【分析】此题综合性较强，首先根据奇函数性质画出f?x?在R上的图像，得到原函数在R上单调递增，关键一步是将f?x?t??2f?x?变形为f?x?t??f性脱去“f”号，转换为求解不等式恒成立的问题。 解：∵x?0时，f?x??x设x?0，则?x?0
22∴f??x????x??x
2?2x，继而利用单调
?∵f?x?是定义在R上的奇函数 ∴f?x???f??x???x
22??x,x?0综上，f?x?在R上的解析式为f?x???2
???x,x?0画出图像得f?x?在R上单调递增
根据f?x?的解析式可将f?x?t??2f?x?变形为f?x?t??f所以x?t?2x对任意的x?t,t?2恒成立 解得t?
例5、已知偶函数f?x?在区间0,???上单调递增，则满足f?2x?1??f??的取值范围是（） A ?,?2x
???2。
?1??3???12?? B 33???12?,? C ?3?3??12??,? D ?23??12?,? ?2?3?解：由于f?x?是偶函数，且在区间0,???上单调递增，所以在???,0?上单调递减。
根据图像得2x?1?
2例6、（引例）函数f?x?是R上的单调函数，满足f?2??f?1?，且fm?f??m?，
?112，解得?x?。 333??5