x
(a ≤ x ≤ b ).
①
代入①式中， 把 x = a
代入①式中， 即 Φ ( a ) = 则，常数 C = F(a), 于是得 ，F ( x ) ∫ f ( t )dt = F (a ).a x
∫
a
a
f ( t ) dt = 0,
牛顿-莱布尼茨公式
F( x) ∫ f (t )dt = F(a).a
x
代入上式中，移项， 令 x = b 代入上式中，移项，得
∫ ∫
b
a
f ( t )dt = F (b) F (a ).
再把积分变量 t 换成 x, 得 ，b a
f ( x )dx = F (b) F (a ).
②
为了今后使用该公式方便起见， 为了今后使用该公式方便起见，把 ② 式右端的 式就写成如下形式： F (b ) F (a ) 记作 F ( x ) a , 这样 ② 式就写成如下形式：b
∫
b
a
f ( x )dx = F ( x ) a = F (b) F (a ).
b
= [F( x)]
b a
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x)dx = F( x) a = F(b) F(a).
b
牛顿- 牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值， 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x) 的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间 的一个原函数 ，然后计算原函数在区间[a,b]上的 上的 增量F(b)–F(a)即可 该公式把计算定积分归结为求原 即可.该公式把计算定积分归结为求原 增量 即可 函数的问题， 函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联 系.仍成立. 注意 当 a > b 时， ∫a f ( x )dx = F ( b ) F ( a ) 仍成立b
牛顿-莱布尼茨公式
例4
计算下列定积分. 计算下列定积分
∫解
π 3 0
tan xdx .
∫
π 3 0
tan xdx = ln | cos x |
π 3 0
π = ln cos + ln cos 0 3 = ln 2.
牛顿-莱布尼茨公式
例5
计算下列定积分. 计算下列定积分1
π ex (1) ∫ d x; ( 2) ∫π4 cos 2 xdx . 1 1 + e x 6 1 1 1 ex d(1 + e x ) (1) ∫ dx = ∫ 解 1 1 + e x 1 1 + e x
π
1 = ln(1 + e ) = ln(1 + e) ln 1 + = 1; 1 e π 1 π 2 ( 2) ∫π4 cos xdx = ∫π4 (1 + cos 2 x )dx 2 6 6x 1
1 π 1 π = ∫π4 dx + ∫π4cos 2 xd 2 x 2 6 4 6 π 3 π 1 1 π π 1 4 = . + = + sin 2 x π 24 4 8 2 4 6 4 6