概率论与数理统计试题和答案上海大学
三．选择题（每小2分，5题共10分）
A和B，一定有结论
(A) P(A|B) P(|) 1； (B) P(A|B) P(A|) 1； (C) P(A|B) P(|B) 1； (D)上述结论都不一定成立。 11、设相互独立的随机变量X和Y服从参数为 的泊松分别，则仍服从泊松分布的是 。
(A) Z X Y； (B) Z min{X,Y}； (C) Z max{X,Y}； (D)
Z XY。
12、设总体X~N(0, 2)，X1,是
。
,X100是它的一个简单样本，则不正确的
50
~t(n 1)； (B) (A)
S/10
X
k
~t(50)；
50 X
(C)；
k 1100k 51
50
2k
2X k
~F(50,50) (D)
X
k
~t(49)。
13、如果总体X服从正态分布N( , 2)，其中， 未知， 2已知，X1，X2，X3是取自总体的一个样本，那么不是统计量的是 。 (A) X1 X2 X3； (B) (C) min{X1,X2,X3}； (D)
X1 X2 X3
；
31
2
2
(X12 X2 X32)。
14、设随机变量X~t(n)，则正确的是 (A) P(X 0) (C) P(X 0) 11
； (B) P(X 0) ； 22
1
； (D) 以上结论都不正确。
2
四．计算题:（5题共60分）
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15、（10分）设市场共有n种品牌的电脑，市场占有率分别为 i 0，i 1,
n
,n，
其中 i 1。第i种品牌电脑有质量问题的概率为 i。现在对市场上的这些品
i 1
牌电脑进行质量抽查，计算: 1）电脑产品的抽样不合格率；
2）如果发现一台电脑被抽检后判断为不合格，那么该电脑是第k种品牌的概率是多大。
16、（15分）设随机变量X与Y的联合密度函数为
Ae (x y 1),0 x 1,1 y
， f(x,y)
其它 0,
1）确定参数A的值；
2）计算边缘概率密度函数fX(x)和fY(y)；并判断它们是否独立； 3）计算Z lnY的概率密度函数； 4
）计算E。
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17、（15分）设商场随机调查了25位顾客的消费额，得到样本均值的观测值为 80元。样本标准差的观测值为s 12元。如果顾客的消费额X~N( , 2)， 1）求顾客的平均消费额 的置信区间，置信度取为95%；
2）如果以往的经验表明，方差一般为100，那么，能否认为此次方差偏大是一次偶然现象。显著性水平取为5%。
2
（附注），t0.025(24) 2.0639，t0.025(25) 2.0595； 0.05(24) 36.415，
2 0.05(25) 37.652。
18、（10分）一位病人到医院去挂号看病。他发现前面有三位病人在挂号，而且，到达时恰好一位病人刚完成挂号。假设每位病人挂号所需时间都服从参数为 的指数分布，即密度函数都为 e x，并且相互独立。那么， （1）计算这位病人挂号之前所需等待时间的概率密度函数； （2）该顾客挂完号所需的平均时间是多长。
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19、（10分）设总体X的密度函数为
2 x ( 1),
f(x)
0,
其中 为未知参数。 （1）求参数 的矩估计 1；
x 2x 2
，
。 （2）求参数 的最大似然估计 2
2
证明：X2
Y2 ~ (1)。
（提示
可利用结论：Z1
2
，Z2 ，则(Z1,Z2)服从二维正态分布）
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1. 错 2 对 3 错4 对 5 错 6 P(B) P(AB) 0.5 0.35 0.15
121 exdx e 1 e2xdx (EY)2 (e2 1) (e 1) (e 1)(3 e) 2200
25 1
0.62 8.1 34
9
11
118
10—14 d b a c b
15解 以A记事件“抽检的电脑是合格的”；以Bi记事件“该电脑是第i种品牌的
电脑”。
那么已知条件为：P(A|Bi) 1 i；P(Bi) i。 （2分） 1）P(A) P(Bi)P(A|Bi) (1 i) i
i 1
i 1
n
n
（2分） （2分） 2）P(B1|)
P(|B1)P(B1)
n11
1 P(A)
ii 1
i
16. 解 1）Ae 2xdx 1，则
1
A 2
e 1，即A 2e2。 （2分） 2
0,
概率分布函数：F(x) x 2(t 1)
dt, 2 e
1
2
0,
x 1 1 e 2(x 1),
x 1
x 1x 1
。 （ 3分）
2）P( 1 X 2) 2e 2(x 1)dx F(2) F( 1) 1 e 2。 （ 2分）
1
0,
3）FY(y)
P(lnX y),
0,
所以fY(y) 2(ey 1) y
, 2e
0,
y 0 ey
y 0 2e 2(x 1)dx,
1y 0y 0
y 0y 0
， （2分）
， （ 2分）
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4
）E 2(x 1)dx y2e
1
y22
dy （2分）
y2e
y22
dy
（2分）
17. （附注），u0.025 1.96，u0.05 1.645。
解 由给出的样本均值 1500，假设检验问题： 原假设 H0： 1500；备选假设H1： 1500 （2分） （2分）
拒绝域：W {x分）.
u0.05} （2
1.875 W， （2
分）
结论：拒绝原假设，接受备选假设，即认为新工艺确实提高了产品的寿命。 （2分）
18. 解 （1）两位顾客完成服务的时间记为X1和X2，则由假设条件：
f1(x) e x，f2(x) e x， （2分）
所以，等待时间为当W X1 X2， （2分）
利用随机变量和的密度函数的计算公式：
x
fW(x) 2e (x y)e ydy 2xe x。 （2分）
（2）利用期望的线性：EW EX1 EX2