第三章连续型随机变量
3.1设随机变量 ? 的分布函数为F（x），试以F（x）表示下列概率： (1)P(??a);(2)P(??a);(3)P(??a);(4)P(??a)。解：(1)P(??a)?F(a?0)?F(a);（2）P(??a)?F(a?0);(3)P(??a)?1?F(a);(4)P(??a)?1?F(a?0)。3.2函数F(x)?
11?x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果
（1）???x??(2)0?x??,在其它场合恰当定义； (3)???x?0,在其它场合恰当定义。解：(1)F(x)在(??,?)内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； (2)F(x)在（0，?)内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； (3)F(x)在内单调上升、连续且，若定义 （－?，0） F(x)??~?F(X)－??x?0
x?0?1则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。
3.3函数 sinx 是不是某个随机变量?的分布函数？如果?的取值范围为
~????3???（1）0，；（2）0，?；（3）0，??。 ???22???????解：(1)当x??0,? 时,sinx?0且?2sinxdx?1，所以 sinx 可以是某个随机变量的分布
0?2?密度； (2) 因为
???0sinxdx?2?1 ,所以sinx不是随机变量的分布密度； ??3?? 时,sinx<=0所以sinx不是随机变量的分布密度。 2?? (3) 当 x???,3.4设随机变量?具有对称的分布函数p(x)，即p(x)=p(-x) 证明：对任意的a>0，有
a1(1)F(?a)?1?F(a)???p(x）dx;20(2)P(??a)?2F(a)?1;(3)P(??a)?2?1?F(a)?.证：(1)F(?a)??p(x)dx?1??p(x)dx?1?????aa0a?a???ap(x)dx
a1?1??p(x)dx?1?F(a)?1??p(x)dx??p(x)dx???p(x)dx;????020aaa1(2)P(??a)??p(x)dx?2?p(x)dx,由(1)知1?F(a)???p(x)dx?a020故上式右端＝2F(a)-1;(3)P(??a)?1－P(??a)?1－?2F(a)?1?。3.5设F1(x) 与
F2(x) 都是分布函数，证明
F(x)=aF(x)+bF(x)
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为
F1(x) 与 F2(x)都是分布函数，于是
F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又
F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以，F(x)也是分布函数。 取a=b=1/2,又令
F1(x)=0 x<=0,1 x>0 F2(x)=0 x<＝0 x 0
0x??0??F(x)??(1?x)/20?x??1
?1x?1?既然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不
是连续函数，所以它也不是连续型的。 3.6设随机变量?的分布函数为
?1?(1?x)e?x x?0F(x)??
?0 x?0求相应的密度函数，并求P(?解：
?1)。
d[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 dx?xe?x x?0p(x)???0 x?0
2P(??1)?F(1)?1?e3.7设随机变量?的分布函数为
?0 x<0?F(x)??Ax2 0?x<1
?0 x?1?求常数A及密度函数。
解：因为F(1-0)=F(1)，所以A＝1，密度函数为
0?2x ? p(x)??
0 其他?3.8随机变量?的分布函数为F(x)=A+B arctg(x),常数A与B及相应的密度函数。 解：因为
x???limF(x)?A?B?(??2)?0
x???limF(x)?A?B?(??2)?111 因而 所以 A＝，B＝，2?111?F(x)=?arctg(x) , p(x)F(x)?2??(1?x2)3.9已知崔机变量?的分布函数为
?x 0 ?0 其他?（1） 求相应的分布函数F(x); （2） 求p(??0.5), p(??1.3), p(0.2???1.2) 解： ?0 x?0?x??ydy?1x2 1 p(x)?Ae?x; ???Acosx ??x??（2）p(x)??22 ??0 其他?Ax2 1?x?2（3）p(x)??Ax 2 ??0 其他?解：（1） ??2?－?Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1，所以 0?A?1； 2?（2） ??2?Acosxdx?2A?2cosxdx?2A?1，所以 0A?12； （3） ?21Ax2dx??Axdx?2829A?1，所以 6A?6 。 293.11在△ABC中任取一点P,P到AB的距离为?,求?的分布函数. 解: 作△ABC的高CD,设CD=h。当0≤x≤h时,作EF∥AB,椒EF与AB间距离为x。 当0≤x≤h时 F(x)=P(?＜x)= SS?EFBAh?x2 =1－?CEF=1－(), S?ABCS?ABCh因此 0?2???h?x? F(x)=?1???x???1??x?00?x?hx?h . 3.12在半径为R,球心为O的球内任去一点P,求??OP的分布函数解:当0≤x≤R时 43?x3 F(x)=P(? 43?R3?03???x? F(x)= ?????R???1?x?=??,所以 ?R?x?00?x?Rx?R 33.13某城市每天用电量不超过一百万度,一?表示每天的耗电率(即用电量除以一百万度),它具有分布密度为 ??12x(1?x) ?(x)???0?20?x?1其他 若该城市每天的供电量仅有80万度,求供电量不够需要的概率是多少?如每天供电量为90万 度又是怎样呢? 解: 2P(??0.8)??112x(1?x)dx?0.0272,0.8P(??0.9)??10.912x(1?x)dx?0.0037.2 因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度,则供电量不够需要的概率为0.0037. 3.14设随机变量?服从(0,5)上的均匀分布,求方程 4x2?4?x???2?0 有实根的概率. 解:当且仅当 (4?)?16(??2)?0 (1) 成立时,方程4x?4?x???2?0有实根.不等式(1)的解为: 2??2或???1.因此,该方程有实根的概率 ??P(??2)?P(???1)?P(??2)??5dx?. 23.15设随机变量?服从正态分布N(0,1),求 (1)P(0.02???2.33);(2)P??1.85???0.04?; (3)??2.80????1.21? 解:(1)P(0.02???2.33)??(2.33)??(0.02) ?0.4901?0.0080?0.4821; (2)P(?1.85???0.04)??(0.04)??(?1.85) 1535