因式分解方法归纳总结
第一部分：方法介绍
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法
和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)
二、运用公式法.
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（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；
222222
(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；
22333322
(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；
22333322
(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：
2222
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
333222
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca
222222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c
三、分组分解法
例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)
2练习：分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x?y?ax?ay
1
22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)
222例4、分解因式：a?2ab?b?c 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2
=(a?b)2?c2
=(a?b?c)(a?b?c)
22222练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz
22综合练习：（1）x3?x2y?xy2?y3 （2）ax?bx?bx?ax?a?b （3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a （5）a?2a?a?9 （6）4a2x?4a2y?b2x?b2y （7）x2?2xy?xz?yz?y2 （8）a?2a?b?2b?2ab?1 （9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)
2243222a?b?c?3abc （11）（12）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
2333
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.
2解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数，a?1
2
b 例8、分解因式：a?8ab?128分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b 8b+(-16b)= -8b
282=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) 解：a?8ab?12b =(a?8b)(a?16b)
2222练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2x2?7xy?6y2 例10、x2y2?3xy?2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2) 练习9、分解因式：（1）15x2?7xy?4y2 （2）ax?6ax?8
63综合练习10、（1）8x?7x?1 （2）12x2?11xy?15y2 （3）(x?y)2?3(x?y)?10 （4）(a?b)2?4a?4b?3
2222m?4mn?4n?3m?6n?2 （5）x2y2?5x2y?6x2 （6）
（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2 （9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2
2222思考：分解因式：abcx?(ab?c)x?abc
五、换元法。
例13、分解因式（1）2005x?(2005?1)x?2005
（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x 解：（1）设2005=a，则原式=ax?(a?1)x?a
=(ax?1)(x?a) =(2005x?1)(x?2005)
（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
2222222 3
原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2
设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x ∴原式=(A?2x)A?x2=A2?2Ax?x2 =(A?x)2=(x2?6x?6)2
练习13、分解因式（1）(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)
（2）(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90 （3）(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2
例14、分解因式（1）2x4?x3?6x2?x?2
观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
22解：原式=x(2x?x?6?1111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6?
xxxx1122设x??t，则x?2?t?2
xx∴原式=x2（2t2?2)?t?6?=x22t2?t?10
21????2 =x?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2?
xx????21????22 =x·x·?2x??5?·?x??2?=2x?5x?2x?2x?1
xx??????????? =(x?1)2(2x?1)(x?2)
432（2）x?4x?x?4x?1
??411??1???2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????1122 设x??y，则x?2?y?2
xx222 ∴原式=x(y?4y?3)=x(y?1)(y?3)
11222 =x(x??1)(x??3)=x?x?1x?3x?1
xx432练习14、（1）6x?7x?36x?7x?6
4322（2）x?2x?x?1?2(x?x)
解：原式=x(x?4x?1?22????
4
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）x3?3x2?4
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=x3?1?3x2?3 原式=x3?3x2?4x?4x?4 =(x?1)(x2?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x?2)2 =(x?1)(x?2)2
963（2）x?x?x?3
解：原式=(x9?1)?(x6?1)?(x3?1)
=(x3?1)(x6?x3?1)?(x3?1)(x3?1)?(x3?1) =(x3?1)(x6?x3?1?x3?1?1) =(x?1)(x2?x?1)(x6?2x3?3)
练习15、分解因式
4224（1）x3?9x?8 （2）(x?1)?(x?1)?(x?1) 42422（3）x?7x?1 （4）x?x?2ax?1?a
222222444（5）x4?y4?(x?y)4 （6）2ab?2ac?2bc?a?b?c
七、待定系数法。
22例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6
=(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4)
分析：原式的前3项x2?xy?6y2可以分为(x?3y)(x?2y)，则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)
解：设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)
∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴
2222x2?xy?6y2?x?13y?6=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn
?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13，解得?
n?3??mn??6?∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)
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