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突破点12
圆锥曲线的定义、方程、几何性质
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(对应学生用书第44页)
[核心知识提炼]
提炼1圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线). 提炼2 圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
c ①在椭圆中：a＝b＋c；离心率为e＝＝
a2
2
2b21－2； ab21＋2. ac ②在双曲线中：c＝a＋b；离心率为e＝＝a2
2
2
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
x2y2b ①双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；
abay2x2a ②双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
abb (3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y＝±2px(p＞0)的焦点坐标为?±，0?，准线方程为x＝?；
2?2? ②抛物线x＝±2py(p＞0)的焦点坐标为?0，±?，准线方程为y＝?. 2?2?提炼3弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k|x1－x2|＝
1＋k·
2
222
?p?
?
ppp?x1＋x2
2
－4x1x2或|AB|＝?1?2
1＋??|y1－y2|＝k??
?1?21＋??k??
y1＋y2
2
－4y1y2.
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝
4
2
p2
－p；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝为直径的圆与准线相切．
2
2p112
(α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB2
sinα|FA||FB|p[高考真题回访]
回访1 椭圆及其性质
1．(20xx·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
94 A.
13 3
B.5 3
x2y2
2 C. 3
B [∵椭圆方程为＋＝1，
94 ∴a＝3，c＝a－b＝9－4＝5. ∴e＝＝ 故选B.]
2
2
5D. 9
x2y2
ca5. 3
x22x22
2．(20xx·浙江高考)已知椭圆C1：2＋y＝1(m>1)与双曲线C2：2－y＝1(n>0)的焦点重合，e1，
mne2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m>n且e1e2>1 C．m
2B．m>n且e1e2<1 D．m A [C1的焦点为(±m－1，0)，C2的焦点为 (±n＋1，0)， ∵C1与C2的焦点重合， ∴m－1＝n＋1，∴m＝n＋2，∴m>n. ∵m>1，n>0，∴m>n. 2 2 2 2 2 2 2 m2－1n2＋1 ∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝， mnm2－1n2＋1 ∴e1e2＝· mn ＝ ＝m2－ mnn2＋n2＋ n2＋ 2＝m2－ m2n2 n2＋ n2 ＝n4＋2n2＋1 >1＝1.] n4＋2n2 x2y2b3．(20xx·浙江高考)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上， abc则椭圆的离心率是________． 2b [设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M. 2c 由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ. 又O为线段F1F的中点， ∴F1Q∥OM， ∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|. 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝ |MF|b＝，|OF|＝c， |OM|cc2bc 可解得|OM|＝，|MF|＝， aa2bc2c 故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝. 2 aa2bc2c 由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a， 2 aa 整理得b＝c，∴a＝b＋c＝2c， 故e＝＝ 22 ca2.] 2 x2y2 4．(20xx·浙江高考)如图12-1，设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共 ab点P，且点P在第一象限． 图12-1 (1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； (2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b. y＝kx＋m，??22 [解] (1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由?xy2＋2＝1，??ab2akmx＋am－ab＝0. 2 22 22 22 消去y，得(b＋ak)x＋ 2222 2 2 2分 由于l与椭圆C只有一个公共点，故Δ＝0，即b－m＋ak＝0，解得点P的坐标为 bm??－2akm?b＋a2k2，b2＋a2k2?. ?? 又点P在第一象限， 22 4分 22 ?－ak，b? 故点P的坐标为?222222?. 6分 b＋ak??b＋ak (2)证明：由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线 l1的距离 22 ?－ak＋bk??222?b2＋a2k2??b＋ak d＝ 1＋k2 ， 8分 整理，得d＝ a2－b2 b22222 b＋a＋ak＋2 k. 10分 b2 因为ak＋2≥2ab， k22 所以 a2－b2 ＝a－b， 2≤22 bb＋a＋2abb2＋a2＋a2k2＋2k2 a2－b2 12分 当且仅当k＝时等号成立． 所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 回访2 双曲线及其性质 5．(20xx·浙江高考)设双曲线x－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2 3为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________． (27，8) [∵双曲线x－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，∴|F1F2|＝4， 3||PF1|－|PF2||＝2.若△F1PF2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF1|＋|PF2|－16>0，可化为(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1|·|PF2|>16①.由||PF1|－|PF2||＝2，得(|PF1|＋|PF2|)－4|PF1||PF2|＝4.故2|PF1||PF2|＝ 2 2 2 2 2 2 ba15分 y2 y2 PF1|＋|PF2 2 2 －42 ，代入不等式①可得(|PF1|＋|PF2|)>28，解得|PF1| 2 2 ＋|PF2|>27.不妨设P在左支上，∵|PF1|＋16－|PF2|>0，即(|PF1|＋|PF2|)·(|PF1|－ |PF2|)>－16，又|PF1|－|PF2|＝－2， ∴|PF1|＋|PF2|<8.故27<|PF1|＋|PF2|<8.] 6．(20xx·浙江高考)双曲线－y＝1的焦距是________，渐近线方程是________． 2 23 y＝± 2 x2 2 2 x [由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a22 ＋b＝3，即c＝3，∴焦距2c＝23，渐近线方程为y＝±x，即y＝±ba2x.] 2 x2y2 7．(20xx·浙江高考)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别 ab交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________． 5xyb [双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x. 2aba2 2 b??y＝x， 由?a??x－3y＋m＝0， b??y＝－x， a 由???x－3y＋m＝0， 得A? ?am，bm?， ??3b－a3b－a? 得B? ?－am，bm?， ??a＋3ba＋3b? 2 2 3bm??am 所以AB的中点C坐标为?22，22?. ?9b－a9b－a? 设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)， 因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l， 所以kPC＝－3，化简得a＝4b. 在双曲线中，c＝a＋b＝5b，所以e＝＝回访3 抛物线及其性质 8．(20xx·浙江高考)如图12-2，设抛物线y＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( ) 2 2 2 2 2 2 2 ca5.] 2 图12-2