高中数学试卷
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请
把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）
1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是
A．
5
6
B．
2 3
C．
1 2
D．
1 3
，则
2．若 是第四象限角，且sin
2
cos
2
2sin
2
cos
2
是 2
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3. 已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP 2OA+BA，则
A．点P不在直线AB上 B．点P在线段AB上
C．点P在线段AB的延长线上 D．点P在线段AB的反向延长线上
4．设m,n R ，若直线(m 1)x (n 1)y 4 0与圆(x 2)2 (y 2)2 4相切，则m n的取值范围是
A.(0,1 3] B.[1 3, ) C. [2 22, ) D.(0,2 22] 5. 已知正方体C1
的棱长为C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为
A．18
B．92
C．9
D．62
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x 3) f(x),且在区间[0,
3
]上是增函数,若方程2
f(x) m(m 0)在区间 6,6 上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1 x2 x3 x4
A． 6 B． 6 C． 8 D．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）
1
ln,x 0 x
7．已知f(x) ，则不等式f(x) 1的解集为 ▲ .
1,x 0 x
8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ▲ 人.
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c2，则cosC的最小值为. 9．在 ABC中，角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c，若a b 2
10．给出下列四个命题：
（1）如果平面 与平面 相交，那么平面 内所有的直线都与平面 相交； （2）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 ；
（3）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内与它们的交线不垂直的直线与平面 也不垂直； （4）如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ．
其中真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ．．．
11．若动点M(x0,y0)在直线x y 2 0上运动，且满足(x0 2)2 (y0 2)2≤8，则x02 y02的取值范围是
1 1
12．设函数f x x ，A0为坐标原点，An为函数y f x 图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向
x 1 2
x
量an
n
k 1
n 5
Ak 1Ak，向量i (1,0)，设 n为向量an与向量i的夹角，满足 tan k 的最大整数n是
3k 1
．
。
答 题 卡
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
7． 8． 9． 10． 11． 12．
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三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）
已知函数f(x) 2sin
xxx
cos 2 ． 222
（1）求函数f(x)的单调减区间；
（2）该函数的图象可由y sinx(x R)的图象经过怎样的变换得到?
（3）已知
6 2π
f( ) f( )的值． ，且，求, 5663
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菱形ABCD中，A(1,2)， (6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. （1）若向量 (3,7)，求点C的坐标； （2）当点D运动时，求点P的轨迹.