［20］［15-16］
［12-13］
1）供应商供货充足。
2）鲜活农产品供应链由零售商主导。
3）零售商瞬时补货，产品具有时鲜性和易变质性，不允许退货。4）只考虑零售商的库存成本，且在库存中存在变质。
5）零售价格由完全竞争市场决定，即零售价格是外生给定的。
6）假设所有的信息（成本、市场需求等）都是公共的，所有供应链的参与者都是风险中性的，追求利润最大化。
7）设零售过程中的单位时间内的变质率为θ（t），由于变质率随时间增长而减小，为了计算简便，本文中将单位时间的变质率设为时间t的线性减0＜θ＜1。考虑到新鲜度对需函数，即θ（t）=1－θt，
时间越长，新鲜度越低，零售商所面临求率的影响，
的需求就越小，因此需求量为时间的减函数。本文13］，借鉴文献［把需求量设为时间的线性减函数D（t）=a－bt，0＜t＜T。其中，a为t=0时的需求量；b
为需求量的变化率。
符号的含义如下：
w1为生产商对分销商的批发价格；c1为生产商的生产成本；
w2为分销商提供给零售商的批发价格；c2为分销商的单位运输成本；p为零售商的单位零售价格；I（t）为零售商在t时刻的库存水平；h为零售商的单位库存持有成本；T为零售商的订货周期；
θ为零售过程中的单位时间的变质率的变化率；a为t=0时，零售商面临的需求量；b为零售商面临的需求的变化率；b3为零售商的废品处理成本；Q为零售商的周期订货量；π1为生产商的周期利润；π2为分销商的周期利润；π3为零售商的周期利润；π为供应链的周期利润。
1
2
模型符号与假设
模型建立与求解
本文研究由一个生产商、一个分销商、一个零售商组成的供应链系统，考虑一个单周期模型。零售商在销售季节来临前有一次订货机会。
假设条件如下。
下面通过分析生产商－分销商－零售商构成的鲜活农产品三级供应链的分散决策和集中决策两种不同情形，制定有效的时间折扣契约来协调供应链。2．1分散决策情况
在分散决策下，生产商、分销商、零售商的最优
48
工业工程第14卷
决策其实是一个动态博弈的过程。由逆向归纳法可知，在博弈的第1阶段，零售商根据变质库存模型，制定最优的订货量和订货周期；在第2阶段，分销商依据零售商制定的最优订货量，确定最优批发价格；在第3阶段，生产商确定对分销商的最优批发价格。
第1阶段，零售商根据自己的库存和成本状况基于以上假设，制定出最优订货周期和最优订货量，
［23］
由Ghare和Schrader变质库存模型dI（t）=－θ（t）I（t）dt－D（t）dt，0≤t≤T，可得零售商t时刻的库存水平I（t）。
已知边界条件为I（T）=0，当产品的生命周期1
远远大于订货周期T时，即θ（t）T→0，本文采θ（t）
18］用与文献［相同的处理方式，由泰勒展式
x2
e≈1+x+，
2
x
（1－）（1－a）θ（1－aθ）
3－w2T2+
2（θ+1）θ+11－aθ（pa－w）T。
θ+12
零售商的单位时间利润为π3Γ3－H3－L3－f3
==TT（
2111－aθθ（1－aθ）2h+b3）T－bp+h+3322（θ+1）θ+1（1－）（1－a）θ（1－aθ）
3－w2T+
2（θ+1）θ+1
1－aθ
w）。θ+12
（1）
（pa－
由于零售商追求单位时间最大利润，因此，式（1）对T分别求一阶和二阶导数有π3T21（1－a）
=2（h+b3）T－dT33θ+11（1－a）（1－）1－abp+h+b3－22（θ+1）2（θ+1）
dw2
θ（1－aθ）
=0，θ+1
d2π321（1－a）
=2（h+）＜0。3
33θ+1dT2T
由此求得零售商的最优订货周期为
T*=A－Bw2。
其中，
1－aθ1（1－aθ）（1－θ）+h+b3
2（θ+1）2（θ+1）2
A=，
2θ（1－aθ）（2h+b3）3θ+1B=
3
。
2（2h+b3）
近似得
1－aθθ（1－aθ）2
（t－T2）+（T－t）。
θ+1θ+1
当t=0时，零售商的初始库存即最优订货量为
1－aθθ（1－aθ）2
Q=I（0）=－T。
θ+1θ+1
1a?，由于a为t=0时刻的需求量，因此，即有
θ
1－aθ＜0。I（t）=
下面分析零售商所要承担的成本。零售商的库存持有成本为H3=hI（t）dt=
()
∫
T
h［－
2θ（1－aθ）31－aθ2
T+T］；
3（1+θ）2（1+θ）零售商的变质处理成本为L3=b3
∫
T
（1－θt）I（t）dt=
b3［－
θ（1－aθ）3（1－）（1－a）2
T+］；
3（1+θ）2（1+θ）
在博弈的第2阶段，分销商根据零售商的订货
量以及自己的成本状况，在单位时间利润最大化的基础上确定对零售商的最优批发价格w2。
分销商的利润函数为
π2=Γ2－（H2+f2）=（w2－w1－c2）Q；分销商的单位时间利润函数为π2Q=（w2－w1－c2）TT
（2）
零售商的购买成本为
1－aθθ（1－aθ）2
f3=w2Q=w2（T－T）；
2（θ+1）θ+1零售商的总收益为
Γ3=pD（t）dt=p（a－bt）dt=
∫
T
∫
T
p（aT－
12
bT），2
*
将T=A－Bw2代入式（2），并根据单位时间利润最大化目标，分销商的利润函数对w2求导，令
因此，零售商的利润函数为
π3=Γ3－H3－L3－f3=（
21111－a（1－a）3h+b3）T－bp+h+3322θ+1θ+1
d
π2
T
=－［（A－Bw2）－B（w2－w1－c2）］×dw2
（1－a）1－a+=0，θ+1θ+1
第4期林略，雷晓燕，但斌：基于线性时变需求的鲜活农产品三级供应链协调
49
从而决定分销商对零售商的最优批发价格
1*
w2=w1+C。
2Ac21C=+－。其中，
2B22Bθ
第3阶段，生产商根据分销商的订货量和自己的成本，在单位时间利润最大化的前提下制定自己对分销商的最优批发价格w1。
生产商的利润函数为
w1－c1］Q；π1=Γ1－f1=［
生产商的单位时间利润函数为
π1（Γ1－f1）Q==（w1－c1）。TTT
珟πΓ1－（H3+L3+H3+f1）
==TT21（1－aθ）2h+b3θT－32θ+111－aθ（1－a）（1－）pb+h+b3－22（θ+1）2（θ+1）