xi wang
和L 的矩阵分别为 2和L 的共同表象中，算符L L4.5 设已知在Zxy
0 i0 010
2
Lx i0 i 101 Ly 22 0i 0 010
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。
x的久期方程为 解：L
0
2
0 3 2 0
22 0
2
1 0， 2 ， 3 的本征值为0， ， ∴Lx Lx的本征方程
a1 010 a1
101 a2 a2
2 a
010 a3 3
a1 2和L 共同表象中的矩阵 的本征函数L 其中 a2 设为LZx
a3
当 1 0时，有
10 a1 0 0
101 a2 0 2 010 a3 0 a 0 2 a a，a2 0 13 0 a3 a12 0 2 a a
1
∴ 0 0
a1
由归一化条件
a1 2 **
(a,0, a)0 1 0 2a1 011
a 1
1
取 a1
2
xi wang
1 2
的本征值0 。 对应于L 0 0x
1
2
当 2 时，有
a1 010 a1
101 a2 a2
2 a 010 a3 3
2a 2 a a2 2a1
1 1
(a1 a3) a2 a2 2a3 2
a a1
a3 31
a2 2 a 1
∴ 2a1
a1
由归一化条件
1
a1
2*** 1 (a1,2a1,a1) 2a1 4a1
a1 1 取 a1
2 1
2 1
的本征值 ∴归一化的 对应于Lx
2
1
2
当 2 时，有
010 a1 a1
101 a2 a2
2 a
3 010 a3
1 a1 2 a a2 2a1
1 1 (a1 a3) a2 a2 2a3
2 a a
1 1 a3 3
a2 2
a1
∴ 2a1
a1
由归一化条件
a1 2***
1 (a1, 2a1,a1) 2a1 4a1
a1
1
取 a1
2
xi wang
1 2 1 的本征值 ∴归一化的 对应于Lx
2 1
2
表象的变换矩阵为 2和L 的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx 111
22 2
11
S 0 22
11 1 22 2
∴对角化的矩阵为L x SLxS
1 11 1
0 22 010 2 2
111 11010 L x 2 22 22 010 11 1 1 1 2 2 222
111
222 000
11 11
10
2 22 22 1 111 11 22 22 2
0 000 00
20 0 0 0
2 00 2 00
按照与上同样的方法可得
的本征值为0， ， L y
的归一化的本征函数为 L y
1 1
1 22 2
i i 0 0
22 1
1 1 2
22
2和 的共同表象变到L 表象的变换矩阵为 从L LZy
2 1 2 121
1 111 222 2 ii 1 S 0 S 2 22
111 1 2 22 2 利用S可使Ly对角化
0 ii2
2
1
2 1 2 1 2
000
L 0 y SLyS 0
00
xi wang
4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为
J t
i
( * * ) ∴ J 2 i J ( * * ) 而
2
i
( 2 * * 2 ) 2
1 * *T ) ( T
i
T *) i ( *T ∴
t * ( ) T *) i ( *T
t
写成矩阵形式为
T i ( ) T t
( T )* * 0i ( ) T t
第五章 微扰理论
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态 能量的一级修正。 解：这种分布只对r r0的区域有影响，对r r0的区域无影响。据题意知 U(r) U(r) H0
其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即
2ze
U（ r）
4 0r
U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r r0区域， Ze2 U(r ) 4 r
在r r0区域，U(r)可由下式得出，
U(r) eEdr
r
Ze43Ze 1 r r, (r r0)233 4
34 r r4 r 0000 E
Ze (r r0) 2
4 0r
r0
U(r) eEdr eEdr rr0
Ze2r0Ze2 1 rdr dr 32
4 0r0
r
4 0
r0
r
Ze2Ze2Ze222 (r0 r) (3r02 r2) (r r0) 33
4 0r08 0r08 0r0
xi wang
Ze2Ze222
(3r0 r) (r r0) 3 H U(r) U0(r) 8 0r04 0r
0 (r r0)
H (0) 2 U(r)，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态 由于r0很小，所以H0
2
Z r Z3
a0(0)1/2
1 (3)e）
a0 (1)(0)* 1(0)d E1 1H
2Z 2 r
Z3r0Ze2Zea022
[ (3r0 r) ]e4 r2dr 3 3
4 0r a008 0r0
2Z
ra0 ∴r a0，故e 1。
r0Z4e2Z4e2r0(1)224
∴ E1 (3r0r r)dr rdr 33030
2 0a0r0 0a0
r05Z4e2Z4e225