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精品 课时分层作业(十九) 最大值与最小值
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．已知函数f (x )＝x 3－3x ，|x |≤1，f (x )的最小值为________．
【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1,1]上是单调递减函数，f (x )的最小值为f (1)＝－2.
【答案】 －2
2．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是________. 【导学号：95902240】 【解析】 由f (x )＝x e x 得f ′(x )＝1－x e
x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝1e
. 【答案】 1e
3．函数y ＝x －sin x ，x ∈????
??π2，π的最大值是________． 【解析】 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈??????π2，π时，y ′＞0，则函数y 在区间????
??π2，π上为增函数，
所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π.
【答案】 π
4．函数f (x )＝1x ＋1
＋x (x ∈[1,3])的值域为________． 【解析】 f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12
，所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立， 即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32
. 故函数f (x )的值域为????
??32，134. 【答案】 ????
??32，134 5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154
，则a 等于________.
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精品 【导学号：95902241】
【解析】 由已知y ′＝－2x －2，令y ′＝0，解得x ＝－1；∴函数在(－∞，－1)上是单调递增；在(－1，＋∞)上是单调递减．
若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝－12? ??
??a ＝－32舍去. 若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154，综上，a ＝－12
. 【答案】 －12
6．函数f (x )＝12
x 2－ln x 的最小值为________． 【解析】 f ′(x )＝x －1
x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1; 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12
. 【答案】 12
7．下列结论：
①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值；
②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；
③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 时达到；
④在区间[a ，b ]上的连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值．
其中正确的是________(填序号)．
【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以①②③都不正确，而连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值，所以④正确．
【答案】 ④
8．已知函数f (x )＝a x
2＋2ln x ，若当a ＞0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________.
【导学号：95902242】
【解析】 由f (x )＝a x 2＋2ln x 得f ′(x )＝2x 2－a x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a ＞0，
令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，
. f′(x)＞0.
精品
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精品
故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1. 要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e. 【答案】 [e ，＋∞) 二、解答题
9．求函数f (x )＝－x 3
＋3x ，x ∈[－3，3]的最大值和最小值．
【解】 f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
max 当x ＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (－1)＝－2.
10．已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ≤0，求函数f (x )在????
??1e ，e 上的最大值和最小值. 【导学号：95902243】
【解】 因f (x )＝1－x x ＋k ln x ，f ′(x )＝－x －1＋x x 2
＋k x ＝kx －1
x
2. ①若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在????
??
1e ，e 上恒有f ′(x )<0，
∴f (x )在??????1e ，e 上单调递减．∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )max ＝f ? ??
??1e ＝e －1. ②若k <0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ? ?
???
x －1k x 2
，则在????
??1e ，e 上恒有k ? ?
???
x －1k x 2<0， ∴f (x )在??????1e ，e 上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝f ? ????1e ＝
e －k －1.
综上，当k ＝0时，f (x )min ＝
1－e
e
，f (x )max ＝e －1； 当k <0时，f (x )min ＝1
e
＋k －1，f (x )max ＝e －k －1.
[能力提升练]
1．已知a 为实数，f (x )＝(x 2
－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________．
【解析】 由原式可得f (x )＝x 3
－ax 2
－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2
－2ax －4.由f ′(－1)＝0
. 得
精品
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精品 a ＝12，此时f (x )＝x
3－12
x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43
. 又f (－1)＝92，f ? ????43 ＝－5027
，f (－2)＝f (2)＝0， 所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027
. 【答案】 92 －5027
2．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图3310所示 x
－1 0 2 4 5 f (x ) 1 2 1.5 2 1
图3310
下列关于函数f (x )的命题：
①函数f (x )的值域为[1,2]；
②函数f (x )在[0,2]上是减函数；
③如果当x ∈[－1，t ]时，函数f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；
④当1＜a ＜2时，函数y ＝f (x )－a 最多有4个零点．
其中正确命题的序号是________.
【导学号：95902244】
【解析】 由导函数的图象可知，当－1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，