第六届Mathor Cup数模挑战赛一等奖,武汉大学0818A参赛队,写手孙一璠,程序刘泽彬,辅助与队长蔡森。A题第一问完整解答与论文
第1问
1 问题分析
氮在水中主要以离子形态存在，主要包括硝态氮、铵态氮和亚硝态氮，也有相当部分的氮以有机质的形式存储在水体有机物中。水中的各种含氮物质通过氨化、硝化、反消化和同化作用等进行相互转换。水体中的磷则以活性磷酸盐为主体，存在部分有机磷和无机磷颗粒。在沉积物中，氮主要以含氮有机物形式存在，并通过微生物作用转变为无机氮向水体扩散。而磷则无机与有机参半，其中能溶解并与水体交换的磷是各种评价的主要研究对象。[1] 在了解水体氮磷基本情况的前提下，探究池塘中常见N、P理化因子的关系，应当包含两个维度。一个维度是横向探究各种理化因子自身间的相互影响，相互转换关系。另一个维度是纵向各种理化因子在沉积物、间隙水、水体间的扩散转移。对于各维度的关系，可以在相对忽略另一维度关系影响的情况下，单独讨论。
附件一中包含的数据为“连续15周，对1到4号养殖池，分别在A、B两处采集底泥、间隙水、池水三种环境中的样本，并检测包括总氮与总磷在内的6种理化指标的含量值”。因为理化因子间的相互关系具有稳定性，因此抽取1号养殖池数据分析，其结果可以代表整体。对于A、B两个采样点的数据取均值，作为被测理化因子的实际含量。
在横向探究理化因子间的自身影响时，采用主成分分析法求三种环境下各理化因子的综合指标，以消除理化因子纵向扩散转移关系对横向关系探究的影响。然后对6项理化因子综合指标做相关性分析，初步判别个理化因子间的相关关系。最后对，具有较强相关性的理化因子做进一步函数拟合，解读其相关关系。纵向探究不同环境中理化因子的扩散转移关系的思路与方法与横向探究一致。
2 数据处理与分析
2.1综合指标提取
求综合指标时使用主成分分析法，其基本步骤为“数据标准化”，”建立变量相关系数矩阵R“，“求R的特征根λ1,λ2,λ3……及其对应的特征向量T1*,T2*,T3*……”，“由特征根及特征向量求主成分表达式与综合评价函数”，“带入标准化的原始数据，求综合评价值”。值得注意地是，从本质上讲，综合评价函数数对原始指标的线性综合。从计算主成分到对之加权，经过两次线性运算后得到综合评价函数。求综合指标的Matlab代码在附录1中给出，这里仅给出计算结果。表1为横向探究中的理化因子综合指标，表2为纵向探究中的池塘环境综合指标。
表1 理化因子综合指标
周数总磷磷酸盐磷总氮硝态氮亚硝态氮铵态氮
1 0.179 0.1601 0.1913 -0.0889 0.0724 -0.1744
2 0.1222 0.0566 0.1802 -0.1671 0.0825 -0.1445
3 0.1533 0.1032 0.132
4 -0.1101 0.1266 -0.1904
4 0.1553 0.0871 0.1868 0.0071 0.1029 -0.2055
5 0.1617 0.1048 0.1828 -0.1187 0.032
6 -0.1841
6 0.163 0.0945 0.142
7 -0.2447 0.0622 -0.2622
7 0.1187 0.0924 0.0755 0.0062 0.0852 -0.0965
8 0.1617 0.1384 0.1457 -0.1542 0.3066 -0.1654
9 0.1839 0.2441 0.2173 -0.3453 0.8489 -0.2543
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10 0.1621 0.1454 0.1619 -0.5243 0.3524 -0.1659
11 0.1749 0.1612 0.2281 -0.0898 0.0955 -0.1869
12 0.1775 0.1793 0.1827 -0.083 0.0446 -0.114
13 0.2079 0.2723 0.2446 -0.1135 0.0963 -0.2221
14 0.2153 0.3584 0.2596 -0.0164 0.0711 -0.1896
15 0.227 0.4416 0.2129 -0.0077 0.0752 -0.1764
表2池塘环境综合指标
周数池水间隙水底泥周数池水间隙水底泥
1 0.2528 -0.2109 -0.330
2 9 0.3534 -0.0819 -0.3638
2 0.0714 -0.238
3 -0.311
4 10 -0.002 -0.2551 -0.3609
3 0.097
4 -0.2937 -0.3611 11 0.112
5 -0.4581 -0.341
4 0.0968 -0.3002 -0.328 12 0.2319 -0.1433 -0.2748
5 -0.0471 -0.2742 -0.3503 13 0.2933 -0.235 -0.3996
6 -0.0483 -0.3176 -0.3335 14 0.4332 -0.438
7 -0.4643
7 0.062 -0.1647 -0.3239 15 0.5473 -0.4504 -0.3924
8 0.139 -0.1213 -0.3601
2.2 相关性分析
利用malab中的相关性分析函数corr()分别对理化因子综合指标和池塘环境综合指标进行相关性分析，结果分别如表3和表4所示。
表3 理化因子综合指标相关性
总磷磷酸盐磷总氮硝态氮亚硝态氮铵态氮
总磷 1.0000 0.9122* 0.7734* 0.1193 0.0476 -0.3908
磷酸盐磷0.9122* 1.0000 0.6547* 0.1824 0.1017 -0.1738
总氮0.7734* 0.6547* 1.0000 0.0730 0.0784 -0.4127*
硝态氮0.1193 0.1824 0.0730 1.0000 -0.6315* 0.3046
亚硝态氮0.0476 0.1017 0.0784 -0.6315* 1.0000 -0.3747
铵态氮-0.3908 -0.1738 -0.4127 0.3046 -0.3747 1.0000 可以发现总磷与磷酸盐磷存在很强的正相关关系，总磷与总氮、总氮与硝酸盐磷间存在较强的正相关关系；总氮与硝态氮、亚硝态氮无显著相关关系，但与铵态氮存在较弱的负相关关系；硝态氮与亚硝态氮存在较强的负相关关系。
表4 池塘环境综合指标相关性
池水间隙水底泥池水 1.0000 -0.1979 -0.5357
间隙水-0.1979 1.0000 0.4611
底泥-0.5357 0.4611 1.0000 显然，池水与底泥间存在一定的负相关关系，底泥与间隙水间存在正相关关系，池水与间隙水间的相关关系不明显，可能是波动性地此消彼长关系，需要进一步探究。
2.3 数据拟合
为进一步探究各因素之间的深层关系，在分析线性相关性强弱的基础上，利用matlab 对数据进行进一步拟合。
2.3.1横向数据拟合
由表3知总磷与磷酸盐磷，硝态氮与亚硝态氮，总磷与总氮，总氮与铵态氮间显著相关
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且有必要进一步进行相关度更高的拟合，探究其深层关系。拟合的中间步骤在附录2中给出，正文中只给出具体分析用到的拟合图像和相关信息。