y x
得交点横坐标分别为x
11 1 1
. S x2 x3 dx x3 x4 1 004 12 3
四 应用题
将长度为100米的铁丝折成面积最大的矩形, 求该矩形的长和宽. 解 设折成的矩形的长为x,则宽为
100 2x
50 x,故矩形的面积为 2
,由
S x 50 x 5x x2
,
S 50 2xS 50 2x 0
解得长
x 25
,宽
50 x 25(米),所以该矩形的长和宽都为25米.
. 一 选择题
1、D 2、C 3、B 4、A 5、B 二 填空题
① 3 ② ⑤
ex(sinx3
) d ③ y 3x ④ 3 3coxs3x
[ 1,3]
⑥
x
⑦
x arctanx C ⑧ sin
2
4
三 计算题
1．求lim
x 0
cosx 1． 2
x
解
lim
cosx 1 sinx1
lim
x 0x 0x22x2
2x
3 2．求lim 1
x
x
．
大学高等数学
解
3 lim 1x
x
2x
e 6
3．设函数
y exarctanx，求y ．
2
2
解
y 2xexarctanx
e1 x2
x2
3
dy x t 20094．设 ，求．
t
dx y e
解
dyet
2dx3t
10
5．求不定积分
11x 5
10
dx．
解
11x 5
dx
111011
11x 5d11x 5 11x 5 C 11 121
2
6．求不定积分
sinx
cosxdx．
解
sinx
2
12
cosxdx sinx dsinx sin3x C
3
7．求定积分
cos 2x dx．
2
解
12 0 cos 2x dx sin2x 0
20
2
8．求函数解
f(x) x3 3x的极值．
f (x) 3x2 3 0,得x 1或x 1
f (x) 6x,由f ( 1) 6 0知, f( 1) 2为极大值,由f (1) 6 0知, f(1) 2为
极小值. 四 应用题
求由曲线
y x2和y x所围成的平面图形的面积.
y x y x
2
解 解方程组 形的面积为
,得交点坐标为( 1,1)和(1,1),因此由曲线
y x2和y x所围成的平面图
x2x3 12(x x)dx 23 06 1
五 证明题
1
1
大学高等数学
10, )上只有一个实根． ( 证明方程 x x 在
证 作函数
3
f(x) x3 x 1,则因f (x) 3x2 1 0,故f(x) x3 x 1在( , )上
3
单调增,于是方程x
因
x 1 0在( , )上最多只有一个实根.
f(0) 1 0,f(1) 1 0, 故由零点存在定理知, 存在x (0,1)使得f(x) 0,综上方程
x3 x 1 0在( , )上只有一个实根.
五 证明题
指出函数lnsinx在区间满足罗尔定理的结论．
证 函数lnsinx在区间
5 5
上满足罗尔定理的条件,验证函数lnsinx在区间,, 上
6666
5 5
上满足罗尔定理的三个条件，即函数lnsinx在区间,, 上
66 66
连续,在
5 1 5
lnsin lnsin ln内可导,且. , 66266
内存在一点
5
, 66
, 使得
f 0
. 事实上，由
(lnsinx)
cosx
0sinx
和
5
x , ，得x ， 因此，取
22 66
。 即有
f 0