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一些周期性的二阶线性微分方程解的方法
1． 简介和主要成果
在本文中，我们假设读者熟悉的函数的数值分布理论[12，14，16]的基本成果和数学符号。此外，我们将使用的符号 (f)， (f)and (f)，表示的顺序分别增长，低增长的一个纯函数的零点收敛指数，f， e(f)（[8]），E型的f(z)，被定义为
e(f) limlogT(r,f) r r
同样， e(f)，E型的亚纯函数f的零点收敛指数，被定义为
log N(r,1/f) e(f) lim r r
我们说，如果一个亚纯函数f(z)满足增长的正常秩序
logT(r,f) (f) lim r logr
我们考虑的二阶线性微分方程
f Af 0
在A(z) B(e z)是一个整函数在 2 i/ 。在（1.1）的反复波动理论的第一次探讨中由银行和莱恩[6]。已经进行了研究在（1.1）中，并已取得各种波动定理在[2{11，13，17{19]。在e函数中A(z)正确的，银行和莱恩[6]证明了如下定理
定理A 设A(z) B(e z)这函数是一个周期性函数，周期为 2 i/ 在整个函数e存 z z在。如果B( )有奇数阶极点在 和 0，然后对于任何一个结果答案f(z)( 0)在(1.1)中 (f)
广义这样的结果：上述结论仍然认为，如果我们只是假设， 既 0和B( )的极点，并且至少有一个是奇数阶。此外，较强的结论
log
zN(r,1/f) o(r) （1.2） 认为。当A(z)是超越在e，高[10]证明了如下定理
定理B
设B( ) g(1/ ) pjb ，其中g(t)是一个超越整函数与 (g) 1，p是奇正整jj 1
并且bp 0，设A(z) B(e)，那么任何微分解在（1.1）的函数f必须有 (f) 。事实上，在（1.2）已经有证明的结论。
是在[10] 一个例子表明当定理B不成立时， (g)是任意正整数。如果在另一方面z (g) 1，但如果没有一个正整数，我们可以说些什么呢？蒋和高[8]得到以下定理 定理C
设A(z) B(e)，其中B( ) g1(1/ ) g2( )，函数g1和函数g2是整函数g2先验和 (g2)不等于一个正整数或无穷大，并函数g1任意。
（一） 假设 (g2) 1（a）如果函数f是一个非平凡解 e(f) (g2)在（1.1），那么f(z)
和f(z 2 i)是线性相关。
（b）如果函数f1和函数f2在（1.1）是两个线性无关函数，则存在这样一个条件 z e(f) (g2)。
（二） 假设 (g2) 1（a）如果函数f有一个非平凡解在（1.1）且 e(f) 1，f(z)和
f(z 2 i)是线性相关的。
如果函数f1和函数f2在（1.1）在（1.1）是两个线性无关函数，则存在这样一个条件 e(f1f2) 1。
定理 D
让g( )是一个超越整函数和它的秩序是正整数或无穷大。设A(z) B(e z)，B( ) g(1/ ) j 1bj j和p是一个奇正整数。然后 (f) 或F得到每一个非平凡解在（1.1）。事实上，在（1.2）中已经有证明的结论。
例子表明在高[8]定理D不再成立，当 (g)是无穷的。
本文的主要目的是改善上述结果的情况下，当B( )是超越。特别地，我们找到的条件下定理D仍然成立的情况下，当 (g)是一个正整数或无穷大。
我们将证明在第3节的结果如下：
定理1
设A(z) B(e)，其中B( ) g1(1/ ) g2( )，g1和g2g2先验和 (g2)不等于一个正整数或无穷，g1任意整函数。如果定期二阶线性微分方程f(z)和f(z 2 i)的解不是一些属性是两个线性无关的解在（1.1），然后 zp
e(f)
或者
e(f) 1 (g2) 1 2
我们的说法，定理1的结论仍然有效，如果我们假设函数 (g1)不等于一个正整数或无穷大，任意和承担的情况下B( ) g1(1/ ) g2( )，当其低阶不等于一个整数或无穷超然是任意的，我们只需要考虑B*( ) B(1/ ) g1( ) g2(1/ )在0 ， 1/ 。 推论1
设A(z) B(e)，其中B( ) g1(1/ ) g2( )，函数g1和函数g2是整个g2先验和 z
(g2)不超过1 / 2，并且g1任意的。
（一） 如果函数f是一个非平凡解 e(f) 在（1.1）中，那么f(z)和f(z 2 i)是线
性相关。
（二） 如果f1和f2是两个线性无关解在（1.1）中，那么 e(f1f2) 。
定理2
设g( )是一个超越整函数及其低阶不超过1 / 2。设A(z) B(e)，其中zB( ) g(1/ ) j 1bj j和p是一个奇正整数，则 (f) 为每个非平凡解F到在（1.1）中。事实上，在（1.2）中证明正确的结论。
我们注意到，上述结论仍然有效的假设 p
B( ) g( ) b j j
j 1p
我们注意到，我们得出定理2推广定理D，当是一个正整数或无穷，但 (g) 1/2结合定理2定理的研究。
推论2
z设g( )是一个超越整函数。设A(z) B(e)，其中B( ) g(1/ ) pjb 和 pjj 1
是一个奇正整数。假设要么（一）或（二）中认为：
（一） (g)不是正整数或无穷;
（二） (g) 1/2
然后为每一个非平凡解在（1.1）中函数f对于 (f) 。事实上，在（1.2）中已经有证明的结论。
2． 引理为定理的证明
引理1
（[7]），k 2和的假设A0,.....Ak 2是整个周期2 i，并且函数f是有一个非平凡解