时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平移, 变换2的频域对应
如果
4
值较大，则会收缩
到原点附近，而会扩
散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。
5
傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量 和频域变量 得到.
6
傅里叶变换的微分性质
7
变换6的频域对应
8
表示 和 的卷积 — 这
就是卷积定理
9
矩形脉冲和归一化的 sinc 函数
10
变换 10 的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，sinc 函数是这类 滤波器对反因果冲击的响应。
11
tri 是三角形函数
12
变换 12 的频域对应
13
高斯函数 exp( αt2) 的傅里叶变 换是他本身. 只有当 Re(α) > 0 时， 这是可积的。
14
15
16
a>0
17
变换本身就是一个公式
18
δ(ω) 代表狄拉克 δ 函数分布. 这个变换展示了狄拉克 δ 函数的重 要性： 该函数是常函数的傅立叶变换
19
变换 23 的频域对应
20
由变换 3 和 24 得到.
21
由变换 1 和 25 得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (eiat + e iat) / 2.
22
由变换 1 和 25 得到
23
这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克 δ 函数分布的 n 阶微分。 这个变换是根据变换 7 和 24 得到的。 将此变换与 1 结合使用， 我们可以变 换所有多项式。
24
此处 sgn(ω)为符号函数；注意此变 换与变换 7 和 24 是一致的.
25
变换 29 的推广.
26
变换 29 的频域对应.
27
此处 u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换 1 和 31 得到.
28
u(t)是单位阶跃函数，且 a > 0.
34
狄拉克梳状函数——有助于解释或 理解从连续到离散时间的转变.
附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.拉氏变换的基本性质
2．常用函数的拉氏变换和z变换表
附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式，即
B(s)bmsm bm 1sm 1 b1s b0
（n m） F(s)
A(s)ansn an 1sn 1 a1s a0
式中，系数a0,a1,...,an 1,an和b0,b1, ,bm 1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
（1）A(s) 0无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即
n
cicncc1c2
F(s) i （F-1）
s s1s s2s sis sni 1s si
式中，s1,s2, ,sn是特征方程A(s)＝0的根；ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下列两式计算：
ci lim(s si)F(s) （F-2）
s si
或
ci
B(s)
（F-3）
A(s)s s
i
式中，A (s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为
n nci st
f(t) L F(s) L ＝ cie (F-4)
i 1s si i 1
1 1
i
（2）A(s) 0有重根：设A(s) 0有r重根s1，F(s)可写为
F s
B(s)
r
(s s1)(s sr 1) (s sn)
=
cicncrcr 1c1cr 1
rr 1
(s s1)(s s1)(s s1)s sr 1s sis sn
式中，s1为F(s)的r重根，sr 1，…，sn为F(s)的n r个单根；其中，cr 1，…，cn仍按式(F-2)或式(F-3)计算，cr，
cr 1，…，c1则按下式计算：
cr lim(s s1)rF(s)
s s1
cr 1 lim
s si
d
[(s s1)rF(s)] ds
cr j
1d(j)
lim(j)(s s1)rF(s) (F-5) j!s s1ds
1d(r 1)
c1 lim(r 1)(s s1)rF(s)
(r 1)!s s1ds
原函数f(t)为 f(t) L
1
F(s)
crcicn cr 1c1cr 1
L 1 rr 1
(s s)s ss ss s(s s1)1r 1in (s s1)
n
cr 1r 2 cr str 1
t t c2t c1 e ciest （F-6）
(r 2)!i r 1 (r 1)!
1
i