2013李永乐复习全书（数一）例题（无答案）（第五章）
1
x的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式. 2、求e-x带皮亚诺余项的麦克劳林公式.
3、求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式.
2
x2
4
、求w=lim.
x22x 0
cosx-esinx
5、确定常数a和b的值，使f x =x-a+be
x2
sinx当x 0时是x的5阶无穷小量.
1x6、设f x 在x=0处n n 2 阶可导且lim 1+f x =e，求f 0 ,f 0 , fx 0
4
n
0 .
x2x2
<1-cosx<. 7、设0<x<，证明：
232
8、设f x 在 0,1 二阶可导，f x a,f x b,a,b为非负数， c 0,1 ，求证：
1f c 2a+b.
2
9、设f x 在 a,b 三次可微，证明：
13 a+b b-a+b-af . a,b 使得f b =f a +f 224
10、在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数： （Ⅰ）f x =tanx
x ； （Ⅱ）f x =sin sinx x .
3
3
11、求下列函数f x 在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式： （Ⅰ）f x =
1-xx
； （Ⅱ）f x =esinx. 1+x
12、用泰勒公式求下列极限：（Ⅰ）lim
x 0
x2e2x+ln 1-x2 xcosx-sinx
；（Ⅱ）lim n-nln 1+
n
2
1 . n
13、用泰勒公式确定下列无穷小量当x 0时，关于x的无穷小阶数：
； （Ⅱ）
e-1-t dt
t0
x
14、设f x 在 0，+ 三次可导，且当 x 0，+ 时f x M0，f x M3，其
中M0，M3为非负常数，求证f x 在 0，+ 上有界.
15、设函数f x 在 0,1 二阶可导，且f 0 =f 0 =f 1 =0，f 1 =1.求证： 0,1 ， 使得f 4.
kn16、设f x 在 x0- ,x0+ 有n阶连续导数，且f x0 =0，k=2,3, ,n-1;f x0 0.
当0<h< 时，f x0+h -f x0 =hf x0+ h , 0< <1 .
求证：limh 0
.