图3.鼓式制动器总成图
表2.模态测试提取的鼓式制动器总成固有频率与驱动测试测量的尖叫频率 模序 2a 3a
模态测试固有频率 (kHz)
2.90, 3.18 5.03
驱动测试尖叫频率 (kHz)
3.1 5.1
图4.模式2a（制动总成）的模态振型与模态测试提取的3.1kHz频率尖叫的联系：(a) 2.90 kHz; (b) 3.18 kHz.
如表1所示，与制动蹄相比制动鼓的固有频率非常接近尖叫频率；因为施加了制动力所以尖叫频率比自由支撑的制动鼓固有频率稍微高一点。这意味着当施加制动力时制动鼓的振动特性只改变一点，而制动蹄的改变将会非常大。
不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究
2.3.制动鼓与制动蹄的模态振型用于分析
Millner和Okamura等人利用自由支撑圆环和拱门的固有模态振型建立它们的模型，他们假定模式2a的模态振型包括模式2d和2s[9,10]。这就可以假设模式2a的制动鼓模态振型与模式2d的是一样的，即自由支撑圆环的第二类弯曲模态振型。然而模式2a的制动蹄模态振型与模式2s的不一致，即自由支撑拱门的第二类弯曲模态振型。制动总成中制动蹄的模态振型依靠于制动鼓的动作。因此，本文中一系列的功能测试将被用于近似制动蹄的模态振型。此外，就使得在近似的方法中有必要利用不规则或任意截面去得到我们需要的制动蹄。
3.理论模型
图5显示了制动器总成的一个动态模型。制动鼓和制动蹄分别被看做一个规则薄壁圆环和一个不规则薄壁拱门。因此，模型的建立考虑了制动器组件的径向与圆周位移。制动鼓与制动蹄可以分别看做是一个实心圆环和一个实心拱门，然后剪切变形和转动惯量必须通过对模型增加一个旋转的自由度去考虑。然而，尖叫被分析为制动组件之间由径向位移产生的作用力的变化所引起的摩擦力变化造成的动态不稳定性现象；在薄壁圆环理论中径向位移是与圆周位移相互联系的。因此旋转自由度的影响大大小于径向与圆周位移产生的影响，而薄壁圆环理论将被用于理论分析。根据第5部分展示的程序对薄壁圆环和拱门的参数进行计算，薄壁圆环和拱门的动态特性将被逐步等同于制动鼓与制动蹄的动态特性。
图5.鼓式制动器总成的理论模型
w和v分别为径向和圆周位移，它们又分为d,1,2三个下标；wd和vd表示制动鼓的位移；而w1，v1和w2，v2分别表示制动蹄1与制动蹄2。圆周坐标ζ和Φ分别以制动蹄1与制动蹄2的中心为起点，δ为它们起点之间的角度。β1，β2分为制动蹄1中心线到衬片两端的角度。在制动蹄2中，用γ1，γ2分别替代β1，β2。衬片被模拟为径向分布的弹簧。弹簧劲度系数k1，k2，k3，k4等同于正常组件的接触刚度。切向分量因为接触表面油脂润滑所以很小于是可以忽略不计。Ki个附加质量连接到制动鼓分析不对称的影响被集中表示为mk。圆环的不对称迫使产生波浪运动通过其模态振型到其本身，所以致使了不稳定性的降低。制动鼓旋转的影响除了制动鼓与衬片之间的摩擦力之外都忽略掉，因为旋转速度大大低于制动鼓的振动速度。
4.运动方程
4.1.动能与势能
运动方程通过假设模型获得。鼓式制动器的动能与势能通过如下计算
不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究
K与U分别为动能和势能，下标d，s，lin和k分别表示制动鼓（圆环），制动蹄（拱门），衬片和接触刚度。
圆环的动能和势能由如下表达式给出
ρd ，Ad，rd和EId分别表示密度，横截面积，中间面半径和圆环的抗弯刚度。在方程(2)中r为附加质量的数量而δ(ζ-ζk)为ζk表示附加质量mk角位置的狄拉克δ函数。方程(2)和(3)通过非伸缩逼近获得
因为制动鼓与圆环有着几乎一致的弯曲模态振型。
因为末端的接触刚度所以非伸缩逼近不能运用于拱门。因此，拱门的动能与势能由下列式子给出
ρ1，A1，r1，E1和I1分别表示与制动蹄1等同的拱门的密度，横截面积，中间面半径，杨氏模量及与横截面惯性矩；ρ2，A2，r2，E2和I2则表示与制动蹄2等同的拱门的这些参数。用曲线方程近似网的外形，A1，A2，r1，r2，I1和I2通过表达成ζ或Φ的函数获得，然后整合在等式(5)和等式(6)中表达。图6表达了通过在这个分析中所用的曲线方程获得的网的外形。
衬片的势能可以由圆环和拱门的相对位置得到如
每单位角度的衬片的放射状的弹簧的劲度系数
不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究
图6.通过曲线方程和制动蹄横截面获得的原始制动蹄的网的形状
Elin，blin，rlin和hlin 分别表示杨氏模量，宽度，半径和衬片的厚度。势能产生于拱门末端的接触刚度
δ(ζ-α)和δ(ζ-α)为Dirac三角函数。
4.2.圆环和拱门的模态振型
在本文我们对3.1kHz频率的尖叫进行分析，所以将运用一对圆环的第二类弯曲模型。拱门的模态振型将利用一系列的试探函数进行逼近，因为拱门拥有的是不规则横截面而且被组装在相当于固定而宽大的鼓的圆环上。这意味着逼近方法偏向于通过单独为对拱门考虑一系列的试探函数获得。
圆环的圆周方向的位移
ε1(t)和ε2(t)分别表示一对圆环的广义坐标，常数n是节线的序号；例如，第二类弯曲模型的n是3。仅仅通过一对圆环，特定频率的尖叫就可以单独进行分析。而圆环的径向位移可以通过方程(4)和(10)进行估算。
N是试探函数的序号而δ1j(t)，ξ1j(t)，δ2j(t)和ξ2j(t)分别为这些函数的广义坐标。
4.3.摩擦产生的广义力
通过圆环与拱门相对位移产生的施加在拱门上的摩擦力为
μ为衬片的摩擦系数。大小相等方向相反的摩擦力施加在圆环上。摩擦力施加在拱门上产生的广义力通过如下表达式得到
不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究
就圆环来说，广义力为
4.4.运动方程
通过把方程(1)-(15)带入拉格朗日方程，得到与摩擦相关的鼓式制动器的运动方程形如
i为1到N的整数；整数i为方程(16c)-(16f)中 c8i，c9i，c10i和c11i的下标。因此，(16c)-(16f)中任何一个方程都可以扩展为N个方程；方程总数为4N+2。系数(c21-c29)在附录A中标出。这些运动方程可以排列为如下矩阵式