有无非零解。（4）式按分量写出来就是
因此，向量组α1，α2，…，αs 线性无关的充分必要条件是其齐次线性方程组只有零解。
6.向量组的秩
定义六：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关。 定义七：向量组的极大线性无关组所含的向量组的个数就是这个向量组的秩。 定理一：设α1，α2，…，αr 与β1，β2，…，βs 是两个向量组，如果 （1） 向量组α1，α2，…，αr 可以经β1，β2，…，βs 线性表出
高等代数课程设计,
运用矩阵解线性方程组
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（2） r>s
那么向量组α
1
，α
2
，…，α
r
必线性相关。
证明：由（1）有
要证明α1，α2，…，αr线性相关，只要证明可以找到不全为零的k1,k2,…,k r,使
K
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
=0
为此，作线性组合
如果我们能找到不全为零的数x
1
,x
2
,…,x
r
,使β
1
，β
2
，…，β
s
的系数全为零，那就
证明了α
1
，α
2
，…，α
r
线性相关性。这一点是能做到的，即r>s齐次方程组
其中未知量的个数大于方程组的个数，故它有非零解。
推论一：如果向量组α
1
，α
2
，…，α
r
可以经向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性表出，且α1，α2，…，αr线性无关，那么r≤s
推论二：任何n+1个n维向量必线性相关。
推论三：两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量。
定理二：对于n个n维向量，α
i
=（a
i1
,a
i2
,…a
in
）,i=1,2,…,s
将其用一个齐次方程组表示，将其系数矩阵做行列式可得
线性相关
系数矩阵为零，方程组有非零解，则这n个向量（列向量）线性相关，
系数矩阵不为零，方程组只有零解，则这n个向量（列向量）线性无关
由克拉默法则及其逆定理得，非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式不等于0.
7.线性方程组有解判别定理
定理三：（线性方程组有解判别定理）线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增光矩阵有相同的秩。
证明：
先设处线性方程组为
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运用矩阵解线性方程组
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其系数矩阵和增广矩阵分别为
引入向量
于是线性方程组（1）可以改写成向量方程
x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
n
α
n
=β
显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量β可以表示成α
1
，α
2
，…，α
n 的线性组合。用秩的概念，方程组（1）有解的条件可由以下证明的证
先证必要性。设线性方程组有解，就是说，β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
n
线性表
出。由此可推出，向量组α
1
，α
2
，…，α
n
与向量组等价，因而它们有相同的秩。这两个向量组分别是系数矩阵和增广矩阵的列向量。因此，系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。
再证充分性。设其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，就是说，他们的列向量组α1，α2，…，αn与α1，α2，…，αn，β有相同的秩，令它们的秩为r。α1，α2，…，αn中的极大线性无关组是由r个向量组成，不妨设α1，α2，…，αr是它的一个极
大线性无关组。显然，α
1
，α
2
，…，α
r
也是的一个极大线性无关组，因此向量β
可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出。既然它可以经线性表出。因此，方程组（1）有解。
8.线性无关组解的结构（解不唯一的情况下）
定理四：对于一齐次线性方程组它的解有下面两个性质：
（1）两个解的和还是线性方程组的解
（2）一个解的倍数还是方程组的解
（3）解之间的线性组合得到的仍然是方程组的解
证明（1）：
设（k
1
,k
2
,…,k
n
）与（l
1
,l
2
,…,l
n
）是方程组的两个解。也就是说，把它们代入方程组每个方程组成恒等式，即
a
i1
k
1
+a
i2
k
2
+…a
in
k
n
=0, i=1,2,…,s
a
i1
l
1
+a
i2
l
2
+…a
in
l
n
=0, i=1,2,…,s
把两个解的和代入方程组得
A
i1
(k
1
+l
1
)+a
i2
(k
2
+l
2
)+…a
in
(k
n
+l
n
)=0+0=0, i=1,2,…,s
高等代数课程设计,
运用矩阵解线性方程组
7 这就证明了两个解的和还是方程组的解。
证明（2）：
设（k 1,k 2,…,k n ）是方程组的一个解，不难看出（ck 1,ck 2,…,ck n ）还是线性方程
组的解。因为
c （a i1k 1+a i2k 2+…a in k n ）=c ×0=0，i=1,2,…,s
由（1）（2）可以很显然地证明（3）的正确性。
定义八：齐次线性方程组的一组解η1，η2，…，ηt 称为一组基础解系，如果
（1） 任何一个解都能表成η1，η2，…，ηt 的线性组合
（2） η1，η2，…，ηt 线性无关
定理五：在其次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r ，这里的r 表示矩阵的秩（易见，n-r 也就是自由未知量的个数）
定义九：对于一般线性方程组，把每个方程组的常数换成零，得到的齐次方程组称为一般线性方程组的到处组。