解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2·3n－1.
故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1. 答案 2·3n－1
S1，n＝1，
数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝ 当n＝
Sn－Sn－1， n≥2.
1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________． 解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
2，n＝1，故数列的通项公式为an＝
6n－5，n≥2. 2，n＝1
答案 an＝
6n－5，n≥2
考向三 由数列的递推公式求通项
【例3】 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； n－1
(2)a1＝1，an＝nan－1(n≥2)；
(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.
[审题视点] (1)可用构造等比数列法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解．
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， an＋1又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.
1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.
n－1n－21
(2)∵an＝nan－1(n≥2)，∴an－1＝an－2， ，a2＝21.以上(n－1)个式子相乘
n－1n－1a112
得an＝a1 23nnn(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
n 3n＋1
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋ ＋(a2－a1)＋a1(n≥2)．当n＝1时，
213na12(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝22＋2 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法
求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现法求解．
【训练3】 根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式． (1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)； 1
(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln 1＋n.
解 (1)∵an＝an－1＋3n1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n2，
－
－
an
＝f(n)时，用累乘an－1
an－2＝an－3＋3n－3，
a2＝a1＋31，
以上(n－1)个式子相加得 an＝a1＋31＋32＋ ＋3
n－1
＝1＋3＋32＋ ＋3
n－1
3n－1＝2.
1 1＋ (2)∵an＋1＝an＋ln， n n＋11 1＋∴an＋1－an＝ln ＝lnn， n
n－1n
∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，
n－1n－2
2
a2－a1＝1
1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.
以上(n－1)个式相加得，
n－1n2
∴an－a1＝ln＋ ＋ln1＝ln n．又a1＝2，
n－1n－2∴an＝ln n＋2.
考向四 数列性质的应用
10
【例4】 已知数列{an}的通项an＝(n＋1) 11 n(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最
大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由． [审题视点] 作差：an＋1－an，再分情况讨论．
10n＋1 10n 10n9－n 解 ∵an＋1－an＝(n＋2)11－(n＋1) 11＝ 1111 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；
故a1＜a2＜a3＜ ＜a9＝a10＞a11＞a12＞ ，所以数列中有最大项为第9,10项．
(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思
想方法来解决．
(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法．
【训练4】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)． (1)求{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n＝1时，a1＝S1＝23.
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25， ∴an＝－2n＋25(n∈N*)．
(2)法一 ∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144. 法二 ∵an＝－2n＋25，
25
∴an＝－2n＋25＞0，有n＜2∴a12＞0，a13＜0，
1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.
故S12最大，最大值为144.
难点突破13——数列中最值问题的求解
从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．
a【示例1】 (2010·辽宁)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2nn为________．
【示例2】
2 n
(2011·浙江)若数列n n＋4 3 中的最大项是第k项，则k＝
________.
1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主.2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.