上饶中学2014－2015学年高二下学期期中考试
数 学 试 卷（理科重点、潜能班）
考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：缪泽明
一、选择题
1、“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2、下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02≤-x x ”
C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
D ．命题“若1x ≠，则2210x x -+>”的否命题是“若1x ≠，则2210x x -+≤”
3、在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P -关于XOY 面对称的点的坐标是（ ）
A ．(1,3,5)--
B ．(1,3,5)-
C ．(1,3,5)
D ．(1,3,5)--
4、下列命题中，正确的是（ ）
A.若b a >，d c >，则bd ac >
B.若bc ac >，则b a >
C.若22c b c a
<，则b a < D.若b a >，d c >，则d b c a ->-
5、已知向量(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =- ，且ka b +
与2a b -
互相垂直，则k 的值是（
） A ．1 B ．15 C ．35 D ．7
5
6、抛物线09cos 8cos 9sin 6222=++---θθθx y x (其中R ∈θ)的顶点的轨迹是（
）A.圆 B.椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
7、已知椭圆2
2
14x y m +=
的离心率为,则实数m 等于（ ）
A ．2
B ．2或8
3 C ．2或6 D ．2或8
8、在空间直角坐标系O －xyz 中，平面OAB 的法向量为a ＝(2, –2, 1), 已知P (－1, 3, 2)，
则P 到平面OAB 的距离等于 （ ）
A ．4
B ．2
C ．3
D ．1
9、在极坐标系中，点(2,)3π
-到圆2cos ρθ=-的圆心的距离为（ ） A.2
D.10、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
． D
．
11
、函数y = ） A.6 B.2 C.5 D.2
12、斜率为2的直线L 经过抛物线
22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为（ ）.
A.1
B.45
C.35
D.2
5
二、填空题
13、不等式846x x -+->的解集为__________________.
14、已知实数x 、y 、z 满足x+2y+3z=1，则x 2+y 2+z 2的最小值为 ．
15、设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1
上，以D 为原点如图建立空间直角坐标系，记11D P
D B ＝λ.则P 点的坐
标为 ________．
16、已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P
是它们的一个
公共点，且321π
=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 三、解答题
17、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为???==θθsin 4cos 4y x （θ为参数），直线l 的参
数方程为1212x y t ?=+????=??（t 为参数）．
（1）写出圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；
（2）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．
18、给定两个命题, P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；
Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果“P Q 且”为假，且“P Q 或”为真，求实数a 的取值范围。
19、设函数
1()|
1|||2
f x x x =++()x R ∈的最小值为a ． （Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知两个正数m ，n 满足22m n a +=，求
11m n +的最小值．
20、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB 与BB 1的中点，
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面A 1D 1B ； （Ⅱ）求二面角F －DE －C 的平面角的余弦值．
21、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥
，且PC =
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30
？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．
18．对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立0a ?=或0
a >???<?40<≤?a ；
关于x 的方程02=+-a x x 有实数根11404a a ?-≥?≤；
由于“P Q ∧”为假，且“P Q ∨”为真，则P 与Q 一真一假；
（1）如果P 真，且Q 假，有1
1
04,444a a a ≤<>?<<且；
（2）如果Q 真，且P 假，有1
04,04a a a a <≥≤?<或且。
所以实数a 的取值范围为：()1,0,44??-∞ ???
。
19．（Ⅰ）31,221()1,20
2
31,02x x f x x x x x ?--<-???=-+-≤≤???+>??， 当x ∈(－∞，0]时，f (x)单调递减，
当x ∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，
所以当x ＝0时，f (x)的最小值a ＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn，得12
mn ≤，
则11m n +≥
2m n ==时取等号． 所以
11m n +
的最小值为 20．以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为X 、Y 、Z 轴，建立空间直角坐标系（如图所示），设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，则E （2，1，0），F （2，2，1），
A 1（2，0，2），D 1（0，0，2），
B （2，2，0）；=（0，1，1）， 11D A =（-2，0，0），B A 1=（0，2，-2）. 由?11D A =0，?B A 1=0 ，可得 EF ⊥A 1D 1，
EF ⊥A 1B ，∴EF ⊥平面A 1D 1B
（2）平面CDE 的法向量为1DD =（0，0，2），设平面DEF 的法向量为n =（x ，y ，z ）
，由n ?=0，n ?DE =0 ，解得2 x= - y=z ， 可取n =（1
，-2，2），设二面角F －DE －C 大小为θ， ∴cos θ=64=3