专题六 解答题突破——三角形和四边形
【例1】 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
(1)求证：△ACE≌△BCD； (2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.
1.如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
(1)求证：BM＝MN；
(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
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3.如图，在?ABCD中，BC=4，AB=2，点E、F分别是BC、AD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求AC的长．
4．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.
(1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求这个正方形的边长与面积．
【例2】 如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．
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1．已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
2．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．
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3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上， 并且EF=AC． （1）求证：AF=CE；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；
4．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.
(1)求证：∠DAE=∠DCG．
(2)求线段AH的长． （3）求sin∠EAC的值；
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课后作业：1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点
E为AB的中点，连结DE． （1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
2、如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC． （1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．
3、如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． 求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
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4、已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
5、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
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