专题25 全等三角形的存在性
破解策略
全等三角形的存在性问题的解题策略有：
（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解．
（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等． 例题讲解
例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1?b?4?0a???4a?2???4 ， 解：（1）由题意可列方程组 ?b ， 解得??b?3??2a?3??2?13 所以抛物线的表达式为y??x2?x?4．
42 （2）显然OA＝2， OB＝3， OC＝4． 所以BC?OB2?OC2?5?BA． 若△P BD≌△PBC，则BD＝ BC＝5，PD＝PC
所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上， ①若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重合．
如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点． 此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2 BD． 由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）． 13所以直线BE的表达式为y??x?．
2213??x1?4?26?x2?4?26y??x?????22 联立方程组?，解得?，??1?26?1?26 ． 13?y??x2?x?4?y1??y2?22???42?所以点P1，P2的坐标分别为（4一26，?1?26?1?26）．（4＋26，）．
22 ②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8， 0）．
如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点． 此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4 BD． 由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2）， 所以直线BF的表达式为y＝2x－6．
?y?2x?6???x3??1?41?x4??1?41?联立方程组?，解得， ??123y??x?x?4???y4??8?241?y3??8?241?42?所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋41，－8＋241），（ －1－41，－8－241）， 综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一26，?1?26?1?26），（4＋26，），
22（－1＋41，－8＋241）或（－1－41，－8－241）． （3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0，
则AM2＝4＋m2，MN2＝9＋（m－n）2，BN2＝n2． 而∠AMN＝∠ABN＝900， 所以△AMN与△ABN全等有两种可能： ①当AM＝AB，MN＝BN时，
?m1?21?m2??212?4?m?25???可列方程组?，解得?；?， 521521（舍）22??n1??n2???9?(m?n)?n77?? 所以此时点M的坐标为（0，21）．
22??4?m?n②当AM＝NB，MN＝BA时，可列方程组：?·
2??9?(m?n)?2533??m?m?????12?22（舍） 解得?，??n?5?n??521??22??所以此时点M的坐标为（0，
3）． 23）． 2综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，21）或（0，
例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝900，点A的坐标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．
图1 图2
解： 由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝22．所以OD＝①当点F在OA上时，
（ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1． 此时DF⊥OA，所以OF＝422221OB＝，BD＝OB＝．
33332488OD＝，所以OE＝2OF＝，即点E的坐标为（，0）． 2333（ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2． 此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝从而BE＝3BD＝BD1＝；所以∠BED＝300， ED22662?26，AE＝． 33过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝所以OG＝2?
223AE＝2?， 23232323，即点E的坐标为（2?，2?）． 333
图3 图4
（ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3． 此时DE∥OA，所以BD＝BE． 从而AE＝OD＝ 过点E作EG⊥OA于点G， 则EG＝AG＝884所以OG＝，即点E的坐标为（，）．
33342， 3
24AE＝， 23②当点F在AB上时，只能有△ODF ≌△AFD，如图4． 此时DF∥0A．且点E与点A重合， 即点E的坐标为（4，0）．
8 综上可得，端足条件的点E的坐标为（，0），
3（2?
232384，2?），（，）或（4，0）． 3333迸阶训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=直线l；y=-12x-3x-8与y轴变于点C． 24x与抛物线的对称轴交于点E．连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F， 3使得△FOE≌△FCE．．若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
yOEClx
答案：
存在．点F的坐标为（3-17，－4）或（3+17，－4）
2． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行．直线l2
过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．E为直线l2上一点，反比例函数y=（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交干点F． （1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由．
yyk
x
l2BEPFl2BPO
答案： （1）k＝2
l1AxOl1备用图Ax
（2）存在．点E的坐标为（【提示】（2）易得点E（
38，2）或（，2） 83k，2），F（1，k）．①如图1，当k＜2时，只能有△MEF≌△PEF．过3点F作FH⊥y轴于点H，易证△BME∽△HFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM
133，再解Rt△BME，得k＝，所以点E的坐标为（，2）；②如图2，当k＞2时，只2488能有△MEF≌△PFE． 过点F作FQ⊥y轴于点Q，同①可得点E的坐标为（，2）