京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班
2013中考总结复习冲刺练： 动态几何问题
冲刺练由京翰教育一对一家教辅导(http://www.zgjhjy.com)整理
【前言】
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，
第一部分 真题精讲
【例1】（2012，密云，一模）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．
ADN
BMC（1）当MN∥AB时，求t的值；
（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】
解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．
京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班
京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班
ADN
BEMC∵
AB∥DE，AB∥MN．
∴DE∥MN． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴∴
MCNC?． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ECCD10?2tt50?．解得t?．
10?3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】
（2）分三种情况讨论：
① 当MN?NC时，如图②作NF?BC交BC于F，则有MC?2FC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵sin?C?∴cos?C?DF4?， CD53， 53t， 5∴10?2t?2?解得t?25． 8ADN
BMFC② 当MN?MC时，如图③，过M作MH?CD于H． 则CN?2CH， ∴t?2?10?2t??∴t?3． 560． 17京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班
京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班
ADNH
CBM③ 当MC?CN时， 则10?2t?t．
t?10． 3256010、或时，△MNC为等腰三角形． 1738综上所述，当t?【例2】（2012，崇文，一模）
C不重合） 在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝4含x的式子表示）
（用2，BC?3，CD=x，求线段CP的长．
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】：
（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：?AB=AC ，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD．
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF⊥BD．(1)中结论成立．
A京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导F补习班
BGD
EC京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x， 易证△AQD∽△DCP，∴
CPCDCPx? ， ∴?，
DQAQ4?x4x2?CP???x．
4②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作
AG?AC交CB延长线于点G，
??ACF．? CF⊥BD，
则?AGD?△AQD∽△DCP，∴DQ?AQ ， ∴
x2?CP??x．
4【例3】（2012，怀柔，一模） 已知如图，在梯形（1）求证：梯形
CPCDCPx?， 4?x4点MABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，是
AD的中点，△MBC是等边三角形．
ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC式；
（3）在（2）中，当
?x，MQ?y，求y与x的函数关系