∴?A?
CF=1 BF ∵ Rt△ABC中，∠CAB=30o， ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60o， ∴△CEB是正三角形，
∵ CD⊥AB ∴ AE=2DE ∴?c?DE11=； ∴?A=1，?c=； AE22 （2）如图所示：
（3）①×；②√；③√。
8. （2018浙江义乌，23，10分）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是
线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F. （1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关
系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF
与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面
积为S，求S关于x的函数关系
A1 A A DP 图1
C DP C B1
A DP 图3
C E
B A1 B1
FM B A1 B1
FM B E 图2
【答案】（1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
180???? 则 ∠PAA1 =∠PBB1 =?90??
22 ∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP （2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可 ∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=60??90?∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE ∴
???????????30 2?2?2?30??? 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G， 过点A1作A1H⊥AC于点H.
B A1 B1
G A H DP C
∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由题意得：AP= A1 P ∠A=60° ∴△PAA1是等边三角形
∴A1H=3(2?x)在Rt△ABD中，BD=23
2 ∴BG=23?33(2?x)?3?x 22??∴S?ABB?1?4??3?3x??23?3x （0≤x＜2）
11?22???9. （2018广东株洲，20，6分）如图， △ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE=5，求BC长．
【答案】（1）解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°. 解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°， 又∵DE =DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD=∠A=36°. （2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠ECD=36°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°， ∠BEC=72°=∠B， ∴ BC=EC=5.
解法二：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°， ∴∠BEC=∠B， ∴BC=EC=5.
10．(2018重庆綦江，24，10分)如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO
上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE. (1) 求证：△ACD≌△BCE；
(2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长.
【答案】：(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC , CD＝CE 且∠ACB＝∠DCE＝60°
∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60° ∴∠ACD＝∠BCE ∴△ACD≌△BCE
（2）解：作CH⊥BQ交BQ于H, 则PQ＝2HQ
在Rt△BHC中 ，由已知和（1）得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴ CH＝4
22在Rt△CHQ中，HQ＝CQ?CH?52?42?3
∴PQ＝2HQ＝6
11. （2018江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。
【答案】（1）证明：∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB
∵BD、CE是两条高 ∴∠BDC=∠CEB=90° 又∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB（AAS） ∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形。
（2）点O是在∠BAC的角平分线上。连结AO.
∵ △BDC≌△CEB ∴DC=EB,
∵OB=OC ∴ OD=OE 又∵∠BDC=∠CEB=90° AO=AO ∴△ADO≌△AEO（HL） ∴∠DAO=∠EAO
∴点O是在∠BAC的角平分线上。
12. （2018广东省，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
【解】（1）△HGA及△HAB；
（2）由（1）可知△AGC∽△HAB
∴
CGACx9
?，即?， ABBH9y
81 x1（3）当CG＜BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH
2所以，y?∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH
此时，△AGH不可能是等腰三角形；
1BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形； 2992，即x=2 此时，GC=221当CG＞BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA
2当CG=
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9 综上，当x=9或92时，△AGH是等腰三角形． 213. （2018湖北黄冈，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边
上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长． A
D E
B
第18题图
F C
【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5 14. （2018湖北襄阳，21，6分）