“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1）设x?5?3，则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( ). 2（B）1
（C）﹣1
（D）2
（A）0 【答】C． 解：由已知得x
2?3x?1?0， 于是
x(x?1)(x?2)(x?3)?(x2?3x)(x2?3x?2)?(x?3x?1)?1??1.22（2）已知x，y，z为实数，且满足x?2y?5z?3，x?2y?z??5，则
x2?y2?z2的最小值为( ).
（A）【答】D．
1 11（B）0 （C）5 （D）
54 11?x?3z?1，?x?2y?5z?3，解：由 ? 可得 ?
y?z?2.x?2y?z??5，??于是 x2?y2?z2?11z2?2z?5．
154222时，x?y?z的最小值为． 1111y因此，当z?（3）若x?1，y?0，且满足xy?x，x?x3y，则x?y的值为( ). y（C）
（A）1 【答】C．
（B）2
9 2（D）
11 2解：由题设可知y?故yxy?1，于是 x?yx3y?x4y?，所以4y?1?1．
1?91，从而x?4．于是x?y?．
22111?3?3?3123?1，则4S的整数部分等于( ). 32011（C）6
（D）7
（4）设S?（A）4 【答】A．
（B）5
111?11? 3 ， 2011，因为3????解：当k?2，，?， 2k2k?1kkk?1k?k?1???????所以1?S?1?11??2333?11?11?5?1?????． 201132?22011?2012?4 于是有4?4S?5，故4S的整数部分等于4．
，AC上，BE，CD相交于点F，设（5）点D，E分别在△ABC的边ABS四边形EADF?S1，S?BDF?S2，S?BCF?S3，S?CEF?S4，
则S1S3与S2S4的大小关系为( ).
（A）S1S3?S2S4 （B）S1S3?S2S4 （C）S1S3?S2S4 （D）不能确定 【答】C．
?， 解：如图，连接DE，设S?DEF?S1则
第（5）题 S1?EFS4??，从而有S1?S3?S2S4．因为S1?S1?，所以S1S3?S2S4． S2BFS3二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数a，b（其中b?2011），斜边长是b?1的直角三角形的个数为 .
【答】31．
b?2011，解：由勾股定理,得 a?(b?1)?b?2b?1．因为b是整数，所以a2222是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即32，因 52， ， 632．此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .
【答】
1． 6解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是
61?. 366（8）若y?1?x?【答】
122最小值为b，则a?b的值为 . x?的最大值为a，
23． 211≥0，得≤x≤1． 22解：由1?x≥0，且x?y2?由于
131131?2?x2?x???2?(x?)2?． 2222416133<<1，所以当x=时，y2取到最大值1，故a=1． 2441123222或1时，y取到最小值，故b=．所以，a?b?． 22222（x＞0）与矩形OABC的边CB， BA分别交于点E，F，x当x=（9）如图，双曲线y?且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为 .
【答】
3． 2b2（a，）（a,b）解：如图，设点B的坐标为,则点F的坐标为.因为点F在双曲线y?
2
上，所以ab?4. 又点E在双曲线上，且纵坐标 x
为b，所以点E的坐标为(2,b).于是 bS?OEF?S梯形OFBC?S?OEC?S?FBE1b121b2?（?b）a??b????（a?） 222b22b13?（ab?1?2）?.22第（9）题 （10）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .
【答】84．
解：如图，设BC＝a，AC＝b， 则a?b?35＝1225． ① 又Rt△AFE∽Rt△ACB， 所以
222FEAF12b?12??，即， CBACab第（10）题 故12(a?b)?ab． ②
（a?b）?a?b?2ab?1225?24（a?b）由①②得 ，
解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以 a?b?c?49?35?84． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程
2222x2?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值.
解：设方程x?ax?b?0的两个根为?，?，其中?，?为整数，且?≤?，
2，??1，由题意得 则方程x?cx?a?0的两根为??12?????a，???1????1??a， ………………………………5分
两式相加，得???2??2??1?0，即 (??2)(??2)?3，
???2?1，???2??3，所以，? 或? ………………………………10分
??2?3；??2??1.??????1，????5， 解得 ? 或?
??1；???3.??又因为a?? （???），b???，c??（[??1）?（??1）]，，c??2；或者a?8，b?15，c?6， 所以a?0，b??1故a?b?c??3，或29. ………………………………………………20分 （12）如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，
求证：点P为CH的中点.
证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q，
QC，QH. 连接AH，BD，QB，因为AB为⊙O1的直径，
所以∠ADB?∠BDQ?90?．…………5分 故BQ为⊙O2的直径.
BH?HQ. ……………………………………………………10分 于是CQ?BC， BH?AC. 又因为点H为△ABC的垂心，所以AH?BC， 所以AH∥CQ，AC∥HQ，
四边形ACQH为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P为CH的中点. ………………………………………………20分 （13） 如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直
线交抛物线y?22x于P，Q两点. 3（Ⅰ）求证：∠ABP=∠ABQ； （Ⅱ）若点A的坐标为（0，1）， 且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的 直线PQ的函数解析式.
Q作y轴的垂线，垂足分别为C， D. 解：（Ⅰ）如图，分别过点P， 设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）. 设直线PQ的函数解析式为y?kx?t,
并设P，Q的坐标分别为 ,. （xP，yP）（xQ，yQ）?y?kx?t，22?由?22 得x?kx?t?0，
y?x，3?3?于是 xPxQ??t，即 t??xPxQ.于是，
3223222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?t3x3???3?3??P. …………5分