2018年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题
面积类
【例1】．如图1，已知抛物线经过点A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点． （1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．【考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合．】
图1
【巩固1】．如图2，抛物线y?ax?23x?2?a?0?的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐2标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 【考点：二次函数综合题．专题：压轴题；转化思想．】
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图2
平行四边形类
【例2】．如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
图3
等腰三角形类
【例3】．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．】
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【巩固3】．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
规律探索类
【例4】如图，已知点A1、A2、A3、A4…、An在x轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数，过点A1、A2、
2A3、A4…、An分别作x轴的垂线，交抛物线y=x+x于点B1、B2、B3、B4…、Bn，交过点B1的直线y=2x于点C2、C3、C4…、Cn。若△B1C2B2、△B2C3B3、△B3C4B4…、△BnCn?1Bn?1的面积分别为S1、S2、S3、…、Sn。
⑴求S2－S1与S3－S2的值； ⑵猜想Sn－Sn?1与n的数量关系，并说明理由；
22⑶若将抛物线“y=x+x”改为“y=x+bx+c”, 直线“y=2x”改为 “y=(b+1)x+c”，其它条件不变，请猜想Sn－Sn-1与n的数量关系（直接写出答案）。 B4 y
B3 C4 C
B2
C2
B1
AAAA O x 1
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综合类
【例5】．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标． 【考点：二次函数综合题．专题：压轴题．】
【巩固6】．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式； （3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
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2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题【参考答案】
【例题1】考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，解得
；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图2；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+
（0＜m＜3）；
．
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为
图2 【巩固1】【考点：二次函数综合题．专题：压轴题；转化思想．】
分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M． 解答：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，