【例22】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?a，CD?b，E为边AD上的任意一点，EF∥AB，
且EF交BC于点F．若E为边AD上的中点，则EF?______（用含有a，b的式子表示）；若，则EF?______（用含有n，a，bE为边AD上距点A最近的n等分点（n?2，且n为整数）的式子表示）．
DEACFBBC?a.如图1，【例23】已知在?ABC中，点B1、则线段B1C1的长是_______； C1分别是AB、AC的中点，
如图2，点B1、B2,C1、C2分别是AB、AC的三等分点，则线段B1C1?B2C2的值是__________； 如图3,点B1、B2、......、Bn，
C1、C2、......、Cn分别是AB、AC的(n?1)等分点，则线段
B1C1?B2C2?????BnCn的值是 ______.
AB1B1C1B2B图2AC1C2CBn-1BnB图3B1B2AC1C2Cn-1CnCB图1C
【例24】已知：如图，在Rt?ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1?AC于点E1，连接BE1交
CD1于点D2；过点D2作D2E2?AC于点E2，连接BE2，交CD1于点D3；过点D3作D3E3?AC于点E3，如此继续，可以依次得到点D4、D5、?Dn， 分别记?BD1E1、?BD2E2、?BD3E3、??BDnEn的面积 为S1、S2、S3?Sn．设?ABC的面积是1,则S1?______， Sn?______（用含n的代数式表示）.
BD1D3D2D4C
E3E2E1A题型六：折叠与探究规律
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【例25】如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得
到折痕MN．设AB?2，当若
BNCCE1AM?时，则?________． CD2BNAMFDCE1AM，则（用含n的式子表示） ?（n为整数）?_______．
CDnBNE【例26】如图，正方形ABCD，E为AB上的动点，（E不与A、B重合）连接DE，作DE的中垂线，交
AD于点F．
⑴若E为AB中点，则
DF?______ AEDF?________ AEAEFD⑵若E为AB的n等分点(靠近点A)，则
BC题型七：其他类型
【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚
线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8?42，则图3中线段AB的长为.
AB
图1 图2 图3
【例28】如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为
1的半圆后得到图形P2，2然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,?,Pn,?，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S3?S2?；并猜想得到Sn?Sn?1??n?2?
P1P2P3
【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
1的正2三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块
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被剪掉正三角形纸板边长的
1）后，得图③，④，?，记第n(n?3) 块纸板的周长为Pn，则2P4?P3?；Pn?Pn?1=．
① ② ③ ④
【例30】已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为
顶点向外作小等边三角形（如图所示）．
??
n=3
n=4
n=5
当n?8时，共向外作出了个小等边三角形；当n?k时，共向外作出了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是（用含k的式子表示）．
0)，点D的坐标为【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；
yC1CDBA1B1A2B2C2延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1?按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；
第n个正方形的面积为___________（用含n的代数式表示）．
y1)、P2(x2，y2)，yn)在函数y?【例32】如图所示，P??Pn(xn，1(x1，?P3A2A3??PnAn?1An都是等腰三角形，
OAx4?OP?P2A1A2，(x?0)的图象上，1A1，
x斜边OA1、A1A2?An?1An，都在x轴上， 则y1?_____，y1?y2?????yn?______
【例33】如图所示，直线y?x?1与y轴交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，然后延长C1B1与直线
得到第一个梯形AOC再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，同样延长C2B2y?x?1交于点A2，11A2；与直线y?x?1交于点A3得到第二个梯形A2C1C2A3；，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，延长C3B3，得到第三个梯形；??则第2个梯形A2C1C2A3的面积是；第n（n是正整数）个梯形的面
积是（用含n的式子表示）．
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【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，
4)，(8，0)，(0，?4)，则菱形ABCD能如图，菱形ABCD的四个顶点坐标分别是(?8，0)，(0，覆盖的单位格点正方形的个数是_______个； 0)， 若菱形AnBnCnDn的四个顶点坐标分别为(?2n，(0，n)，(2n，0)，(0，?n)（n为正整数），
y4B则菱形AnBnCnDn能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n的式子表示）．
A-8OC8x-4D【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、
A2B2C2D2、A3B3C3D3每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四
条边上的整点共有个．
yA3A2A1321D112C1C2C33xD2D3-3-2-1OB1-1B2B3-2-3
【例36】对于每个正整数n，抛物线y?x2?2n?1n(n?1)x?1n(n?1)与x轴交于An，Bn两点，若AnBn表示这两
点间的距离，则AnBn=（用含n的代数式表示）；A1B1?A2B2???A2011B2011的值为．
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