23．证明：（1）∵DE∥AB，∴∠A+∠ADE=180°，∵∠DEF=∠A，∴∠DEF+∠ADE=180°， ∴EF∥AD，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠ABD，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF； （2）如图，∵EF∥AC，∴AF：AB=DM：BD，∵AF=DE，∴DE：AB=DM：BD， ∵DE∥AB，∴DE：AB=DN：BN，∴DM：BD=DN：BN，即BN?MD=BD?ND．
24解：（1）∵将A（1，0）、C（0，3）代入得：
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，解得：b=﹣4，c=3．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴点P的坐标为（2，﹣1）． （2）过点P作PG⊥AB，垂足为G．
∵令y=0得：x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0）．又∵P（2，﹣1），∴PG=BG=1． ∴∠GBP=45°．∴∠EBF=45°．又∵∠EFB=90°，∴∠EBF=∠FEB=45°．∴BF=EF． 设D（t，t2﹣4t+3），则DF=t2﹣4t+3，则BF=T﹣3．∵DE：EF=2：1，
∴DF=3EF=3（t﹣3）．∴t2﹣4t+3=3（t﹣3）．解得：t1=4，t2=3（舍去）．∴D（4，3）． （3）∵t=4，∴EF=BF=4﹣3=1．∴点E的坐标为（4，1）． ∴BE=
=
，ED=DF﹣EF=3﹣1=2，PE=
=2
．
∴DE2=22=4，BE?PE=∴∠DPE=∠BDE．
=4．∴DE2=BE?PE．又∵∠DEB=∠PED，∴△EBD∽△EDP．
25．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，sinA=，∴BC=AB?sinA=5×=4， ∴AC=
=3．∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC．∵PE⊥AB即∠QED=90°，
∴∠EQD+∠EDQ=90°．∵∠ACD+∠PCQ=90°，∴∠EDQ=∠ACD．∵∠CDA=∠EDQ， ∴∠ACD=∠CDA，∴AD=AC=3；
（2）过点Q作QH⊥BC于H，如图1，∵∠PBE+∠BPE=90°，∠PBE+∠A=90°， ∴∠BPE=∠A，∴sin∠HPQ=sin∠A=，∴sin∠HPQ=∴S△PCQ=PC?QH=x?x=x2（≤x＜4）；
（3）①当PF=PQ时，则有PF=PQ=x=PC．过点P作PG⊥CF于G，如图2， 则CG=CF．∵CF⊥AB，∴S△ABC=AC?BC=AB?CF，∴CF=∵∠PCG=90°﹣∠FCA=∠A，∴cos∠PCG=cos∠A=，∴cos∠PCG=∴x=PC=CG=×=2；
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=．∵PQ=PC=x，∴QH=x，
=，∴CG=． =，
②当PF=FQ时，∵FE⊥PQ，∴PE=PQ=x，∴cos∠BPE===，∴x=．
综上所述：当△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．
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