专题26 相似三角形的存在性
破解策略
探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程．掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题， 相似三角形的基本模型有： 1．“A”字形
已知：在△ABC中．点D在AB上，点E在AC上．DE∥BC． 结论：△ABC∽△ADE．
ADBEC
2．反“A”字形
（1）已知：在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠AED＝∠ABC． 结论：△ABC∽△AED．
AEBDC
（2）已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC． 结论：△ABC∽△A（：D．
ADB3．“8”字形
已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC． 结论：△ABC∽△AED．
C
DAB4．反“8”字形
EC
已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，∠ADE＝∠ABC． 结论：△ABC∽△ADE．
EDABC
5．双垂直
已知：△ABC中，∠BAC＝90?，AD为斜边BC上的高． 结论：△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD．
ABDC
6．一线三等角
（1）已知Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?． 结论：△ABC∽△CED．
ADBCE
（2）已知△ABC和△CDE，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?． 结论：△ABC∽△CED．
ADBCE
（3）已知△ABC和△CED，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?． 结论：△ABC∽△CED．
ADBCE
例题讲解
例1如图，已知A（－1，0），B（4，0），C（2，6）三点，G是线段AC上的动点（不与点A，C重合）．若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．
yAOBxG
C
解：设直线AC的表达式为y?sx?t，
?0?s?t?s??2 把A，C两点坐标代入可得?，解得?．
?6?2s?tt??2??所以直线AC的表达式为y??2x?2． 设点G的坐标为（k，－2k－2），
因为点G与点C不重合， 所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况． 所以
AGAB． ?ABAC而AB＝5， AC?(2?1)2?(?6)2?35， AG?(k?1)2?(?2k?2)2?5k?1，
5k?15所以?528， 即k?1?， 解得k1?， k2??（舍）．
333355210所以点G的坐标(,?)．
33
例2 如图，抛物线y?2(x?2)(x?4)与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于8点C，CD∥x轴交抛物线于点D． P是抛物线上一点，问：是否存在点P， 使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
yACODBx
解：存在．
因为点A（－2，0），B（4，0），C（0，?2），过点D（2，?2）作DE⊥AB于点E，由勾股定理得AD?32,BD?6．
PBAB1①如图，当△P∽△ABD时，， 所以PB 过点P1作PM AB?66．?111⊥AB于点M1，1ABBDPMDE所以11?， 解得PM11?62． PBBD1∵
BM1BE=，∴BM1?12，∴点P1的坐标为（－8，62）， PBBD1因为此时点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在．
P2BAB，所以P．过点P2作P2M2⊥AB于点M2， =2B=62ABADPMBM2AEDE=所以22=，解得P．因为，所以BM2?8， M=2222P2BADP2BAD②当△P2AB∽△BDA时，
所以点P2的坐标为（－4，22），将x＝－4代入抛物线的表达式得y=22， 所以点P2在抛物线上．
③由抛物线的对称性可知：点P2与点P3关于直线x＝1对称， 所以P3的坐标为（6，22）．
④当点P4位于点C处时，两个三角形全等，所以点P4的坐标为（0，-2）．
综上所得，点P的坐标为（－4，22），（6，22）或（0，-2）时，以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似．
yP1P2P3M1M2AC(P4)ODBM3x
例3 如图，已知直线y??x?3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y??x2?bx?c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
yMBQAOPx
解： ∵y??x?3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴ A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3），
??9?3b?c?0?b?2将A（3，0），B（0，3）代入y??x2?bx?c， 得?，解得?，
c?3c?3??所以抛物线的解析式为y??x2?2x?3??(x?1)2?4．
∴点M的坐标为（1，4），MB?12?12?2． 所以BM2?AB2?AM2， ?MBA?90?．
如图， 设运动时间为t秒， 则OP＝t， BQ?(3?t)2． ①当△BOP∽△QBM时，
2(3?t)2MBBQ?， 即，整理得： t2?3t?3?0， ?t3OPOB而??32?4?1?3?0，所以此种情况不存在；
②当△BOP∽△MBQ时， 所以当t?2(3?t)2MBBQ9?， 即 ，解得t?． ?3t4OBOP9时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 4yMBQAOPx
进阶训练
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?，
4B??1,0?两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由．
yCQBAOPx
∴点M的坐标为（1，4），MB?12?12?2． 所以BM2?AB2?AM2， ?MBA?90?．
如图， 设运动时间为t秒， 则OP＝t， BQ?(3?t)2． ①当△BOP∽△QBM时，
2(3?t)2MBBQ?， 即，整理得： t2?3t?3?0， ?t3OPOB而??32?4?1?3?0，所以此种情况不存在；
②当△BOP∽△MBQ时， 所以当t?2(3?t)2MBBQ9?， 即 ，解得t?． ?3t4OBOP9时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 4yMBQAOPx
进阶训练
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?，
4B??1,0?两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由．
yCQBAOPx