高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 yy 图 象 OxOx 平面内到两定点F1,F2的距离的和为平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝 常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭 对值为常数（小于F1F2）的动点的轨 圆即MF1?MF2?2a 定 义 迹叫双曲线即MF1?MF2?2a 当2a﹥2c时，轨迹是椭圆， 当2a＝2c时，轨迹是一条线段当2a﹤2c时，轨迹是双曲线 F当2a＝2c时，轨迹是两条射线 1F2 当2a﹥2c时，轨迹不存在 当2a﹤2c时，轨迹不存在 x2轴上时： y2焦点在xa2?b2?1 x轴上时：x2y2焦点在标准a2?b2?1 程 焦点在y轴上时：y2x2方 a2?b2?1 y2焦点在y轴上时：x22?2?1注：根据分母的大小来判断焦点在哪一ab 坐标轴上 常数a,b,c a2?c2?b2，a?b?0， c2?a2?b2，c?a?0 的关 a最大，c?b,c?b,c?b c最大，可以a?b,a?b,a?b 系 焦点在x轴上时：x渐近 a?yb?0 线 焦点在y轴上时：yxa?b?0
抛物线：
______________________________________________________________________________________________________ （版权所有 翻版必究）
１
yy图形 lOFxFOx l 方y2??2px(p?0)2y?2px(p?0) 程 x2?2py(p?0) x2??2py(p?0) p焦(,0) 点 2p准x?? 线 2
（一）椭圆
(?p,0) 2px? 2p(0,) 2py?? 2p(0,?) 2py? 2x2y2 1. 椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)
ab （1）范围：?a?x?a，-b?x?a，椭圆落在x??a，y??b组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，
简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：A(?a,0),A2(a,0)，B(0,?b),B2(0,b)。加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为2a,2b。a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e?bc?e?1?()2。0?e?1。 aa椭圆形状与e的关系：e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例。e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e?1时的特例。 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程
x2y2a2a2 对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x?
ccaby2x2a2a2对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y?
ccab ２
______________________________________________________________________________________________________
（版权所有 翻版必究）
a2a2?c2b2?c??焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc
（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性
x2y2由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x
ab的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不
封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点
顶点：A1(a,0),A2??a,0?，特殊点：B1(0,b),B2?0,?b?
实轴：A1A2长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线
x2y2bxy 过双曲线2?2?1的渐近线y??x（??0）
aabab （4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e?2cc?，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 2aabc2?a2c22 双曲线形状与e的关系：k????1?e?1，e越大，即渐近线的斜率的绝对2aaa值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
2. 等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e? 3. 共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y??222。
bkbx??x(k?0)，那么此双曲线方程就一定是：
kaaxyx2y2???。 或写成???1(k?0)2222(ka)(kb)ab 4. 共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c(c?a?0)的点的轨迹是a双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。
３ ______________________________________________________________________________________________________
（版权所有 翻版必究）
6. 双曲线的准线方程：
x2y2a2 对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，相对于右焦点F2(c,0)对
caba2应着右准线l2:x?；
cb2 焦点到准线的距离p?（也叫焦参数）。
cy2x2a2 对于2?2?1来说，相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相对于上焦点F2(0,c)对
caba2应着上准线l2:y?。
c
（三）抛物线的几何性质 （1）范围
因为p＞0，由方程y?2px?p?0?可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所
2以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性
以－y代y，方程y2?2px?p?0?不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 （3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2?2px?p?0?中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线y2?2px?p?0?的顶点就是坐标原点。
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。
【典型例题】
例1. 根据下列条件，写出椭圆方程 （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；
（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的
距离是10－5。
分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。 解：（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上
４ ______________________________________________________________________________________________________
（版权所有 翻版必究）
x2y2y2x2??1或??1 因此有两解：
16121612y2x2 （2）焦点位置确定，且为（0，?5），设原方程为2?2?1,（a>b>0），由已知条件有
ab?a2?b2?5y2x2?22??1。 ?a?15,b?10，故方程为?941510?2?2?1b?ax2y2 （3）设椭圆方程为2?2?1,（a>b>0）
ab 由题设条件有??b?c?a?c?10?5及a2＝b2＋c2，解得b＝5,a?10
x2y2??1。 故所求椭圆的方程是
105
例2. 直线y?kx?1与双曲线3x?y?1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ 解：把y?kx?1代入3x?y?1
整理得：(3?a)x?2ax?2?0……（1） 当a??3时，??24?4a
由?>0得?6?a?6且a??3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 2222222若A、B在双曲线的同一支，须x1x2? 故当?6?a??3或3?a?双曲线的两支上。
2>0，所以a??3或a?3。 a2?36时，A、B两点在同一支上；当?3?a?3时，A、B两点在
例3. 已知抛物线方程为y?2p(x?1)（p>0），直线l:x?y?m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
解：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|?3. 由距离公式|AB|＝(x1-x2)?(y1?y2)?1?2221|y1?y2|?2|y1?y2| k2 ５ ______________________________________________________________________________________________________
（版权所有 翻版必究）