边界作了线性化处理。但实际海洋中，波面振幅不是很小，微幅波的假定不符合实际情况，这就要求有较精确的波浪理论。斯托克斯有限振幅波理论就是在这种情况下产生的。有限振幅波波形不是简单的余弦（或正弦）对称曲线，其波峰陡、波谷坦，这是非线性的影响。
非线性影响的程度取决于波高H、波长L及水深d的相互关系，或者说取决于波陡HL、相对波高Hd及Ld三个特征比值。当这三个比值增大时，非线性影响增大。在深水中，影响最大的是HL，浅水中为Hd。
有限振幅波最早由stokes提出，他把波动势函数用级数表示，然后在水面处展开，使其满足水面非线性边界条件，得到其二阶及三阶近似解，其后又给出了有限水深的三阶及无限水深的五阶近似解，后来又有许多人作了进一步研究。前面我们已经提到stokes波一阶解和微幅波结果一致，下面扼要介绍stokes波理论二阶结果与微幅波的不同点。Stokes二阶波势函数?，波面?和波速c为：
k?z?d???Hch???sinkx??t ????kTsh?kd?3?2H?H ??8kT?L???z?d?ch??2k?sin?2kx??t? ?4sh?kd?? 2.2-1
H?H?H?ch?kd??ch2kd?2???cos?kx??t??cos2?kx??t? ??28?L?sh3kd 2.2-2
?g?c??th?kd?? ?k?12 2.2-3
深水时stokes二阶解的速度势?、波面?和波速分别为
??gHkxesin?kx??t? 2?
2.2-4 2.2-5 2.2-6
??c2?H?H?Hcos?kx??t???24?L??cos2?kx??t? ?g k
可见深水时，stokes二阶解的势函数?和波速c与微幅波一致（这里只指stokes二阶波）。而波面?有差别，多了一项（第二项），但当HL很小时，第二项可以略去就和微幅波一致了。有限振幅波时，HL不是小量不能略去，就和
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微幅波有差别，在波峰处，比微幅波高了
?H?H??H?H，波谷处也抬高了???4?L?4?L??，?波峰、谷不再对称于静水面了。从stokes推导还可看出，当相对水深很小，峰谷不对称加剧，如图2.2-1。
图2.2-1 斯托克斯波与微幅波波面曲线的比较
Stokes波的水质点速度u及w分别为
k?z?d??2k?z?d???Hch?3?2H?H?ch?????cos2kx??t u?cos?kx??t????Tshkd??4T?L?sh4kd2.2-7
k?z?d???Hsh?3?2H?H?sh????2k?z?d???sin2kx??t w?cos?kx??t????Tshkd
??4T?L?
sh4kd
2.2-8
上面水平分速度右边的第二项为非线性改正项，在波峰及波谷处均为正值，在距波峰L4及3L4处都是负值，改正后的速度在一个波周期内不对称，波峰时水平速度增大、历时变短，波谷时减小，历时加长，如图2.2-2。这种不对称浅水时尤甚，这对海底泥沙运动至关重要，波峰时有较大的向前运动，而波谷时又有较小的向后运动，使泥沙有一个净输移。
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图2.2-2 斯托克斯波水平质点速度
图2.2-3 斯托克斯波质点运动轨迹
二阶stokes波与微幅波另一明显的差别是其水质点运动轨迹不封闭，如图2.2-3所示。以水质点水平位移为例，水体内任一点初始位置?x0,z0?，任意时刻t，该质点的水平位移为
k?z?d??Hch???sinkx??t ??x?x0???0?2chkd?2k?z?d??1?3ch?????sin2?kx0??t? ??4?1?28?L?shkd?sh?kd???2??H?H???H?H?ch??2k?z?d?????4?L?sh?kd?2?t 2.2-9
上式中右边第三项为非周期性项，是时间函数，随时间增大而增大，说明水质点
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运动一个周期后有一净的水平位移，即
????H?H?ch??2k?z?d?????4?L?sh2?kd??t 2.2-10
这种水平位移造成一水平流动，称漂流或质量输移，一个波周期内水质点平均漂流速度或传质速度为
?z?d?ch?4?0????H?c?L?? U????T?L?2?2?d?sh2???L?2 2.2-11
在深水区可简化为
??H0?L0U0???c0e
?L0?24?z 2.2-12
在海底z??d处
1Uz??d?? ?2?L?2sh?2?dL???H?c2 2.2-13
在水面z?0处
?1Uz?0??2?? ??2?L?2?sh?2?dL????H?c?2 2.2-14
对以上各式沿水深积分，得单位时间单波峰长度内向前输送的水量（m3/s.m）。对于深水有：
q??U0dz??d0?H024T 2.2-15
亦即单位时间单位波峰长度内向前输送的水体体积（m3s?m）
斯托克斯二阶波压力公式与微幅波也不相同，多出两项，但对深水其影响甚小，可以略去，而对浅水不能略去。
Stokes二阶波在单宽波峰长度上一个波长范围内平均总波能仍为势能和动能之和，但动能和势能不相等，当kd较小时（相对水深小）势能大，kd较大时动能大。
Stokes二阶波的波能流同样可写表达式为 P?Ecg，但其具体表达式要复杂的多。
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2.3 浅水非线性波
水深很浅，stokes的高阶项变得很大，已不能适用，就必须考虑浅水非线性波的研究。浅水非线性波理论之一为椭圆余弦波，这一理论的各种特性均以雅可比椭圆函数形式给出而命名。其形状如下图2.2-5（a）。
图2.2-5 椭圆余弦波及其两种极限情况的波面曲线
椭余波有两个极限情况，即当波长很长时变成孤立波如图2.2—5（b），如振幅较小或相对水深dH较大时变为浅水正弦波。如图2.2—5（c）。椭圆余弦波由于其运动表达式复杂，应用不方便，于是人们给出一套曲线或图表应用。
另外一种浅水非线性波是孤立波。孤立波和其它几种类型的波不同，是属于一种移动波，其水质点为具有与波浪传播方向相同的位移，在任一时刻的任一截面上，沿水深各质点有几乎相同的速度。但海洋中我们碰到的多为振荡波。用移动波来描述振荡波有何意义呢？这主要是因为波浪进入浅水，波峰越来越尖，波谷越来越坦，波长无限大，与孤立波极相似，因此在近岸波浪研究中如波浪在近岸破碎、近岸泥沙运动等就得到了应用。
孤立波，整个波峰都在静水位上，绝大部分能量在波峰附近，水质点只向前运动而不向后运动，在水平方向上有一个净向前位移。因此也可以求得在波浪前进方向上单宽波峰长度内，通过某一固定垂直断面的总输水量。其水质点的水平速度为Munk给出，在波峰处w?0，水平速度最大。波浪传入浅水，孤立波破
?H?碎，其极限波高???0.78。
?d?max 13