南开大学 本科课程教学大纲
课程名称： 高等数学 （物理类） 英文名称： Advanced Mathematics 课 号：1010510051 1010510052 1010510053 所 属 院： 数学科学学院 日 期： 2006 年 3 月 30 日
第一学期6学时 总第一学期5 280 学分 周学时 第二学期6学时 学第二学期5 第三学期4学时 时 第三学期4 教学类主讲：第一学期4学时 习题课：第一学期2学时 型及学第二学期4学时 第二学期2学时 时数 第三学期4学时 教学对象（本课程适合的专业和年级）： 适用于物理学院各专业大学本科一、二年级学生。 预备知识： 初等数学的基础知识，包括初等几何，函数，三角函数，直角坐标系等。 课程在教学计划中的地位作用： 本课程是物理系的基础课程，为一年级必修课程。 课程的教学目的和要求（注明考核方式和考核要求）： 物理电子类的高等数学是属于二类高等数学课程。要求学生通过三个学期的学习，理解极限与连续、导数与微分、偏导数与全微分、不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分与曲面积分等重要概念。学会并掌握极限、导数与微分、偏导数与全微分、不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分与曲面积分等的计算方法与技巧。学会解一阶与二阶常微分方程。能够熟练地运用微分（导数）理论与积分理论、常微分方程理论等解决一些实际问题。初步掌握线性代数知识，包括矩阵、行列式、线性方程组、线性空间与内积空间、二次型等。掌握级数理论和广义积分，参变量积分理论。进一步提高数学的运算能力，培养良好的数学理解能力和分析问题解决问题的能力，养成良好的思维习惯与品质，为以后的进一步学习打下坚实的基础。 考核方式为平时+期末考试。 该课程为全校统考课程，第一年实行考教分离。第三学期为任课教师集体命题。 三个学期阅卷工作为统一标准集体流水阅卷。
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课程内容及学时分配： 第一学期 总学时：68学时；习题课时：34课时 第一章 函数与极限 从笛卡儿直角坐标系和集合两个方面去理解函数的概念，从理论和形象上认识现实世界中变量之间的依存关系。掌握极限的概念，熟练运用极限的性质和判别准则由基本极限计算初等函数的一般极限。（讲授参考课时：16课时；习题课参考课时：8课时） 第一节 函数（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §1.1.1函数的基本概念 函数的概念，函数的定义域，函数的值域，函数的表示法。 §1.1.2函数的基本特性 函数的单调性，函数的有界性，函数的奇偶性，函数的周期性，最小周期。 §1.1.3复合函数和反函数 函数的复合，反函数。 §1.1.4初等函数 基本初等函数及其大概图形，初等函数。 第二节 极限（讲授参考课时：6课时；习题课参考课时：3课时） §1.2.1数列的极限 数列极限的ε-N定义，基本极限的ε-N定义的证明。 §1.2.2数列的极限的性质 数列极限的唯一性、有界性、保序性，数列极限的四则运算法则及其例子。 §1.2.3数列的收敛判别法 两边夹定理，单调有界收敛定理，柯西收敛准则，相关例子。*选讲内容：有界必有确界定理，闭区间套定理，紧致性定理及其与柯西收敛准则的等价性。 §1.2.4函数的极限 自变量趋于无穷大时的函数的ε-M极限，自变量趋于一点时的函数的ε-δ极限，函数的单侧极限，函数极限与单侧极限的关系，相关例子。 §1.2.5函数极限的性质 函数极限的唯一性、有界性、保序性，函数极限的四则运算法则，相关例子。*选讲内容：海涅定理。 §1.2.6函数极限存在的判别准则 两边夹定理，两个基本极限，柯西收敛准则，相关例子。 §1.2.6无穷小量和无穷大量 无穷小量，无穷大量，无穷小量和无穷大量的关系，函数极限的无穷小量的表示，无穷小量关于加、减和乘的性质，无穷小量的同阶和无穷小量的等价，相关例子。
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第三节 连续函数（讲授参考课时：6课时；习题课参考课时：3课时） §1.3.1函数连续的概念 函数的增量，函数在一点连续、左连续、右连续的ε-δ定义及其例子。 §1.3.2函数的间断点 函数的第一类间断点，函数的第二类间断点，函数的可去间断点，相关例子。 §1.3.3在闭区间上连续函数的性质 在闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性，一致连续性，零点定理，相关例子。以上性质的所有证明均为选讲内容。 §1.3.4初等函数的连续性 连续函数关于四则运算、复合、取反函数的不变性，基本初等函数的连续性的ε-δ证明，初等函数的连续性。*选讲内容：双曲函数。 第二章 微分学 了解导数和微分产生的背景及其实质，熟练掌握导数和微分的运算。熟练运用中值定理。（讲授参考课时：20课时；习题课参考课时：10课时） 第一节 导数（讲授参考课时：8课时；习题课参考课时：4课时） §2.1.1导数的概念 平均变化率实例，导数、左导数、右导数的定义及其例子，导数的几何意义，可导与连续的关系及其例子。 §2.1.2导数的基本公式和运算法则 基本初等函数的导数，导数的四则运算及其例子。 §2.1.3复合函数和反函数的导数 复合函数和反函数的导数及其例子。 §2.1.4隐函数的导数 隐函数的导数，对数求导法，相关例子，常见函数导数表。 §2.1.5高阶导数 高阶导数的定义，莱布尼兹公式。 §2.1.6由参数方程所确定函数的导数 由参数方程所确定函数的导数和高阶导数，极坐标表示的函数的导数及高阶导数。 §2.1.7*选讲内容：连续和可导的关系 连续不一定可导，处处可导导函数也不一定连续。 第二节 微分（讲授参考课时：6课时；习题课参考课时：3课时） §2.2.1微分的概念 微分的定义，可微与可导的关系，相关例子，微分的几何含义。 §2.2.2微分公式和运算法则 4
常见初等函数的微分公式，微分的四则运算，复合函数的微分，微分的形式不变性，相关例子。 §2.2.3高阶微分 高阶微分的定义及其例子，高阶微分不具有形式不变性。 §2.2.4*选讲内容：微分在近似计算中的应用 函数的近似计算，误差估计。 第三节 中值定理和导数的应用（讲授参考课时：6课时；习题课参考课时：3课时） §2.3.1中值定理 费尔马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理及其应用实例，柯西中值定理。 §2.3.2洛必达法则 无穷小比无穷小型的洛必达法则，无穷大比无穷大型的洛必达法则，其它不定型的洛必达法则，相关例子。 §2.3.3泰勒公式 泰勒公式和麦克劳林公式，在求极限中的应用。 §2.3.4导数的应用 函数的单调性和导函数的关系，函数的凸凹性和二阶导函数的关系，函数的极值和导数的关系，第一判别法，第二判别法，求函数的最值，函数的渐进线，相关例子。*选讲内容：函数作图，曲线的曲率和曲率半径，导数在电路计算中的应用，方程的近似解。 第三章 不定积分 熟练运用基本公式和基本法则计算各种不定积分。（讲授参考课时：12课时；习题课参考课时：6课时） 第一节 不定积分的概念和基本性质（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §3.1.1 不定积分的概念和基本性质 原函数，被积函数，不定积分，基本积分公式，不定积分的基本法则及其例子。
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