七章 实数的完备性
判断题：
??11??H???,?n?1,2,????n?2n??为开区间集,则H是(0, 1 )的开复盖. 1. 1. 设
2. 2. 有限点集没有聚点.
3. 3. 设S为 闭区间 ?a,b?, 若x?S,则
x必为S的聚点.
4. 4. 若n??存在, 则点集?an?只有一个聚点.
5. 5. 非空有界点集必有聚点.
6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.
7. 7. 如果闭区间列?[an,bn]?满足条件 [an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?, 则闭
区间套定理成立. 8. 8. 若f(x)在[a,b]上一致连续, 则f(x)在[a,b]上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.
10. 10. 设f(x)为R上连续的周期函数, 则f(x)在R上有最大值与最小值.
答案: √√√√×××√√√ 证明题
1. 1. 若A与B是两个非空数集,且?x?A,y?B,有 x?y, 则supA?infB. 2. 证明: 若函数f(x)在(a,b)单调增加, 且?x?(a,b), 有f(x)?M(其中M是常
limanlimf(x)?c数), 则 ?c?M, 使 x?b?.
3. 证明: 若E是非空有上界数集, 设 supE?a,且 a?E, 则 存在数列
xn?axn?E,xn?xn?1,n?N, 有 limn??.
4. 证明: 函数f(x)在开区间(a,b)一致连续?函数f(x)在开区间(a,b)连续, 且
f(a?0)与f(b?0)都存在.
5.设?xn?为单调数列,证明: 若?xn?存在聚点,则必是唯一的, 且为?xn?的确界. 6. 证明:
f(x)?sinxx在?0,???上一致连续.
7. 证明: ?xn?为有界数列的充要条件是?xn?的任一子列都存在其收敛子列.
f(xn)?A?, 使 limn?? 8. 设f(x)在a,b上连续, 又有?xn???a,b. 证明: 存在
??x0??a,b?, 使得 f(x0)?A.
答案
A?1.证明: 设supA?a,infB?b. 用反证法. 假设 supiBnf 即 b?a,有
a?ba?ba?bb??a?a?supA,x0?A,?x0;222, 一方面, 则存在 另一
a?ba?bb?infB?,?y0?B,y0?2 则2. 于是, ?x0?A,y0?B有方面,
a?by0??x02, 与已知条件矛盾, 即 supA?infB.
2. 证明: 已知数集
?f(x)x?(a,b)?有上界, 则其存在上确界, 设
sup?f(x)x?(a,b)??c?M
?x; b或 ?x:x0?x?b,
由上确界的定义, ???0,?x0?(a,b), 使得 c???f(x0)?c,
?x:b???0?0, ???b?xlimfx(?)c有 c???f(x0)?f(x)?c 或 f(x)?c??. 即 x?b?.
3. 证明: 已知 supE?a, 由确界定义,
?1?1,?x1?E, 有 a??1?x1?a
?2?min?,a?x1??0,?x2?E?3?min?,a?x2??0,?x3?E?1?3???1?2??, 有 x1?x2 , 并且a??2?x2?a , 有 x2?x3, 并且a??3?x3?a
?? ??
于是, 得到数列?xn?,xn?E,xn?axn?xn?1,?n?N. 有 limn??.
4. 证明: ? 已知 f(x)在(a,b)一致连续,
即???0,???0,?x1,x2?(a,b):x1?x2??, 有 f(x1)?f(x2)?? 显然 f(x)在(a,b)连续, 且 ???0,???0,?x1,x2?(a,b)
?a?x1?a????a?x2?a??(x1?x2??), 有 f(x1)?f(x2)??.根据柯西收敛准则,
函数f(x)在a存在右极限f(a?0).同理可证函数f(x)在b存在左极限f(b?0).
?已知f(a?0)与f(b?0)存在, 将函数f(x)在a作右连续开拓, 在b作左连
续开拓, 于是函数f(x)在闭区间a,b连续, 从而一致连续, 当然在(a,b)也一致连续. 5. 证明: 不妨设?xn?递增.
(1) 先证若?xn?存在聚点必唯一. 假定?,?都是?xn?的聚点, 且???. 取
??2, 由?是?xn?聚点, 必存在xn?U(?,?0).又因?xn?递增, 故n?N时恒有
???xn?xN????0?????02
xxx于是, 在U(?,?0)中至多含?n?的有限多项, 这与?是?n?的聚点相矛盾. 因此?n?的聚
点存在时必唯一.
(2) 再证?xn?上确界存在且等于聚点?. ?a??0?????为?xn?上界. 如果某个xN??, 则 n?N时恒有xn??, 取
?0?xN???0, 则在U(?,x0)内至多含?xn?的有限多项, 这与?为?xn?的聚点相矛盾.
?b? 对???0,由聚点定义, 必存在xN使????xN????. 由定义 ??sup?xn?.
1x?0,??F(x)??sinxx?(0,??)?x?6. 6. 证明: 令
sinxsinxlimF(x)?lim?1?F(0)F(x)??x?0?xx, 所以 由于 x?0, 而 x?(0,??)时
limF(x)?0F(x)?0,???F(x)?0,???在
上连续, 又因
x???存在, 所以 在上一致连续,
从而在(0,??)上也一致连续, 即 f(x)在(0,??)上一致连续. 7. 7. 证明: ? 设?xn?为有界数列, 则?xn?的任一子列
?x?也有界, 由致密性
nkxx???定理知必存在其收敛子列
nknkj?.
? 设 ?xn?的任一子列都存在其收敛子列. 若?xn?无界, 则对M?1, 必存在正整数n1使得
xn1?1x?2;?;; 对M?2,存在正整数n2?n1,使得n2一般地,对
M?k, 存在正整数nk?nk?1,使得xnk?k. 于是得到?xn?的子列?xnk?, 它满足limxnk??k??xx???, 从而的任一子列
nknkj?必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.
?xn?必有收敛子列?xn?,
k8. 8. 证: 因?xn???a,b?为有界数列, 故
设
limxnk?x0k??,
故 x0??a,b?. 一方面, 由于f(x)在x0连续有
由于
x?x0,?b?x???a,
nklimfx(?)fx0(limf(xn)?An??再由归结原则有
nk),limf(xnk)?limf(x)?f(x0)k??x?x0; 另一方面, 由
及
?f(x)?是?f(x)?的子列有
nn??
limf(xnk)?limf(xn)?Ak??
0)?A 因此 f(x .第八章 不定积分
填空题
e1. ??(x)??(x)dx?_________.
2. 若函数F(x)与G(x)是同一个连续函数的原函数, 则F(x)与G(x)之间有关系式
_______________.
f?(x)?3. 若 4. 若5.
11?x2,3f(1)??2 , 则 f(x)?__________. 且
?f(x)dx??cosx?C, 则f(n)(x)?___________.
f?(lnx)dx?________.x
?6. 若R(sinx,cosx)?R(?sinx,?cosx)， 则作变换___________计算7.
n[1??(x)]??(x)dx?__________??R(sinx,cosx)dx.
.
?n?N??
8.
3415x(1?x)dx?_________?
2?f(x)dx?___________f(x)?x?x(x?0)9. 若, 则 ?.
?1(1,)210. 过点4斜率为1?x的曲线方程为___________.
答案:
?(x)?C. 2. F(x)?G(x)?C (C为任意常数). 3. arcsinx??. 1. en?)2 4. . 5.f(lnx)?C. 6. t?tanx.
111[1??(x)]n?1?C?(1?x4)16?Cx?lnx?C27. n?1. 8. 64. 9.
10. y?arctanx
sin(x?
判断题:
1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.
df(x)dx?f(x)?dx2. 2.
3. 3. 若函数f(x)存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.
4. 4. 设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,则F(x)在区间I上一定连续. 5. 5. 函数f(x)的不定积分是它的一个原函数.
x?1x?1ABx?CDx?E??2?222x?1(x?1)2 6. 6. x(x?1)的有理函数分解式为: x(x?1)xd?df(x)?df(x)7. 7.
8. 8. 若函数f(x)在区间I上连续, 则它在区间I上必存在原函数.
9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若, 则答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：
1．下列等式中（ ）是正确的
?f(x)dx?x?C?f(1?x)dx?x?C
A.?f?(xdx)?fx()B?.f?ex(dx)?fex?(C)
C.?f?(x)dx?f(x)?CD.?xf?(1?x2)dx??f?(x)?( ） .4xsin2?D1f(1?x2)?C2
. 2x2．若f(x)满足 A.4sinx23．若
?f(x)dx?sin2x?C,则
B.2coxs2C?f?(x2)?1(x?0),x则f(x)?（ ）
1D.?Cx
4．设函数f(x)在[a,b]上的某个原函数为零，则在[a,b]上 （ ） A．f(x)的原函数恒等于零. B. f(x)的不定积分等于零.
A.2x?CB.lnx?CC.2?xC C. f(x)不恒等于零但其导数恒等于零. D. f(x)恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )
A.2xexdx?dexC.arctaxndx?22B.1dx?d(lnx?1)x?1
dsinx2
1d21?x
22?xf(x)f(x)dx??6.
D.cosx?2dx ( )
A.12f(x)?C21B.22f(2x?)C1C.42f(?x)C12D.4f2(?x).
C7. 若
?f(x)dx?x?C, 则 ?f(1?x)dx? ( )
B.?x?C.C.x?C.1?C.a
8. 函数cosax(a?0)的一个原函数是 ( )
A.1?x?C.1D.(1?x)2?C2 sianxD.sainx
11A.sinxB.sianxaa
xf(x)dx?2?x?1?C?9. 若
, 则f(x)?( )
10. 下列分部积分中对u和v?选择正确的有 ( )
A.1x122?x?x.ln22B.2xln2?1.C.2x?1D.2x?1?1
A.?x2cosxdx,u?cosx,v??x2C.?xe?xdx,u?x,v??e?xB.?(x?1)lnxdx,u?x?1,v??lnxv?1?,xarc
答案：1—10 DCCDADCBBC
计算题:
D?.arcxdxsinu?,ln(x? 1.? 3. 5.
1?x2)dxxarctan 2. ?x2?1dx
??cos2xdx441?sinxdxsinx?cosx 4.
lntanxdxdxcosxsinx 6. 1?1?x2 ?? 7.
?x2?1dx(x?1)2(x?1). 8. xexdxx2(e?1). 10.
?1dx1?sinx?cosx
9. 答案:
??x2dxa2?x2
1x1?x21. 1. 原式=
xln(x?1?x2)??x2x?1?x2(1?)dx
1d(1?x2)?xln(x?1?x)??21?x2