能量和动量（一）
题1 若砖石结构的烟囱由于根部断裂而倒地，设倒地过程中根部始终静止，且烟囱线质量密度均匀，试分析在此过程中，何处最容易断裂。设烟囱全长为l。
题2 两颗恒星的质量分别为M、m，距离为d。绕着静止的质心作圆周运动。在超新星爆炸中，质量为M的恒星损失质量?M。设爆炸是瞬间的、球对称的，对残余体无任何作用力，对另一颗恒星无直接作用。试求出?M取何值时，余下双星系统仍被约束而不远离。
23?n，质题3 有n个球从右至左置于光滑地面上排成一条线，球均等大，且从右至左编号为1、、m2、m3?mn。球1的右边有一堵墙，球球及球墙间碰撞的恢复系数均为e。开始时，量分别对应为m1、球n有一向右速度v，其余球静止。设全部碰撞过程中只有n?1次球球碰撞，且碰后所有的球以同一速m3?mn。假设m1已知，且碰撞均为一维的。 度向左运动。试求m2、
题4 地球赤道平面并不与地球公转轨道平面重合，两者存在交角??23?26?。由于万有引力反比于距离的平方，而地球又不是一个正球体，故而导致地球接近太阳的部分受的引力F1大于背离太阳部分所受引力F2，如此便产生了一个力矩使地轴进动，导致春分点，在黄道面上每年西行50.2??，这种现象称为岁差，如图1。
2将地球视为一个旋转椭球，它绕地轴（地球自转轴）的转动惯量IP?2?MERE，绕在赤道面且过地
22心的轴的转动惯量为IE??ME(RE?RP)。其中RE、RP分别为赤道半径和极半径，?为一常数。
（1）考虑一简单情形，设地球质量ME，太阳质量MS，日地距r0，且地球在其公转轨道的冬至或夏至日的位置（即地轴与日地连心线所构成平面垂直于黄道平面）。试求此时地球受太阳净作用力矩。（用字母表示）
1，并引入月球的影响：月球对地球2作用的原理一样，且忽略月球公转平面与黄道面的夹角。试计算春分点的进动角速度。已知：
（2）设一般情况下，地球受太阳作用力矩平均值为上述值的
MS?1.99?1030kg，ME?5.98?1024kg，Mm?7.35?1022kg，2??0.33，r0?1.496?108km， r1?3.844?105km，RE?6378.14km，RP?6356.76km，G?6.673?10?11N?m2/kg2，
其中Mm为月球质量，r1为地月平均距离。
1
图1
题5 从地球的北极打出一枚炮弹，初速度为v0，恰好打在赤道上，忽略大气阻力和地球运动（包括自转）的影响。试求v0的最小值和此时的发射角。已知：ME?5.98?1024kg，RE?6.37?103km，G?6.673?10?11N?m2/kg2
题6 如图2，有n根一样长的直杆，长均为l，质量均为m，且质地均匀。相互之间以光滑铰链连成一长串放在光滑水平桌面上，相邻两杆偏转角为?，且所有杆相对前一杆均逆时针方向偏转。给第一根杆自由端A0一个冲量，使其获得得速度v0。v0与第一根杆夹角为?，设极短时间后，第k根杆角速度为?k。证明?k满足如下形式方程：
k)?cos[(k?i)?]?(2n?2k?1)?sin(k?????)?f(i，i0i?1n(k?1，2?n)
其中?0=
v0k)是关于i、k、n（n视为常数）的函数，并求出f(i，k)。 ，且f(i，l
图2
2
参考答案
题1解：设线质量密度为?，如图3分析距支点O距离为S的P点所在横截面。分析此面对PQ段受烟囱的作用，合力用F?、Fn两分力表示。则此合力会产生对P点力矩M，这便是烟囱断裂的原因。对于PQ段，重力
G??(l?s)g
而对于点P的转动惯量
1I??(l?s)3 3则
?M+Gl?sGl?s1gsin????s??(l?s)3? 2g23Gl?s??s为以P参考系的惯性力产生的力矩。又分析OQ整g2数，有
其中，
图3
13l?l?g?lsin? 32由上述各式得
M??g2lsin?(l?s)2s
l易知，上式当s?时，M将取得最大值。故距根部处最易断裂。
3
题2解：设M、m距离质心C为l1、l2，而M、m公转速度分别为v1、v2，则
l1?且
mMd，l2?d M?mM?m2v12GMmv2GMmM?m?， l1d2l1d2则
v1?mGG，v2?M d(M?m)d(M?m)爆炸后，新质心速度为vC，则由动量守恒知
(M?m??M)vC??Mv1?0
在新质心系中，新双星系统总机械能为
112G(M??M)m122 E?(M??M)v1?mv2??(M?m??M)vC22d2化简得
E?Gm(M??M)(2?M?M?m)
2(M?m??M)d3