本页满分36分 本 页得分
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
11．
2．
lim(e?x)x?0xx2? .
?1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y2 .
3．设函数y?y(x)由方程?1xe?tdt?xdy确定，则dxx?0? . tf(t)dt?f(x)f(0)?1???fx14. 设可导，且，，则f?x?? . 5．微分方程y???4y??4y?0的通解为 .
二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1．设常数k?0，则函数
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y???4y?3cos2x的特解形式为（ ）.
??（A）y?Acos2x; （B）y?Axcos2x; ?（C）y?Axcos2x?Bxsin2x; （D）y?Asin2x. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.
f(x)?lnx?x?ke在(0,??)内零点的个数为（ ）.
* （A）若?c,d???a,b?,则必有
?f?x?dx??f?x?dx;
cabdbf?x?dx?0???a,bf(x)?0a（B）若在上可积,则;
（C）若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有
x?a?Taf?x?dx??f?x?dx0T;
tf?t?dt???fx0（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
f?x??4. 设
1?e1x1x2?3e, 则x?0是f(x)的（ ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
本页满分 12分 本 页得分 (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分
?20x3e?xdx2.
2．计算不定积分
?xsinxdxcos5x.
本页满分 12分 本 页得分 x?x?a(t?sint),??t?2处的切线的方程. 3．求摆线?y?a(1?cost),在
04. 设
F(x)??cos(x2?t)dt
，求F?(x).
本页满分15分 本 页得分 5．设
四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线y?本页满分18分 本 页得分
xn?n(n?1)(n?2)(n?3)?(2n)limxnn，求n??.
x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.
222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?2 旋转一周所生成的旋转体的体积.
ta?1,f(t)?a?at在(??,??)内的驻点为 t(a). 问a为何值时t(a)最小? 并求3. 设
最小值.
本页满分7分 本 页得分
五．证明题（7分）
设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
1f(0)f=?(1)f?0，,(2
)1试证明至少存在一点??(0,1), 使得f?(?)=1. 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
11． 2．
lim(ex?x)x?2x?0e.
4e.
dy确定，则dxx?012?1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y23．设函数y?y(x)由方程?1e?tdt?x?e?1.
12x2?4. 设f?x?可导，且
x1tf(t)dt?f(x)，f(0)?1，则f?x??e?2x.
5．微分方程y???4y??4y?0的通解为y?(C1?C2x)e二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
.
1．设常数k?0，则函数
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y???4y?3cos2x的特解形式为 （ C ）
??（A）y?Acos2x； （B）y?Axcos2x；
f(x)?lnx?x?k(0,??)内零点的个数为（ B ）. e 在
?（C）y?Axcos2x?Bxsin2x； （D）y?Asin2x 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
*(A) (A) 若?c,d???a,b?,则必有
?dcf?x?dx??f?x?dxabb;
f?x?dx?0???a,bf(x)?0a(B) (B) 若在上可积,则;
(C) (C) 若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有
?a?Taf?x?dx??f?x?dx0T;
(D) (D) 若可积函数f?x?为奇函数,则
?x0tf?t?dt也为奇函数.
f?x??1?e1x1x2?3e, 则x?0是f(x)的（ C ）. 4. 设
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分?0 解：
2x3e?xdx202.
2设x2?t,则?x3e?xdx??1?t12tedt???tde?t0220 -------2
21??t22?t????te??edt?002?? -------2
2131??e?2?e?t??e?20222 --------2
2．计算不定积分解：
?xsinxdxcos5x.
xsinx111?xdx?dx?xd()??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx? --------3
x1?(tan2x?1)dtanx4?4cosx4x113??tanx?tanx?C44cosx124 -----------3 ??x?a(t?sint),??t?2处的切线的方程. 3．求摆线?y?a(1?cost),在
?(a(?1),a)2解：切点为 -------2
k?
dyasint?s)t??dxt??a(1?cot22?1 -------2
切线方程为
xy?a?x?a(?2?1) 即
y?x?(2??2)a. -------2
4. 设 5．设
F(x)??cos(x2?t)dt022?F(x)?2xcosx?(2x?1)cos(x?x). ，则
xn?n(n?1)(n?2)(n?3)?(2n)limxnn，求n??.
1nilnxn??ln1(?)ni?1n ---------2 解：
n1i1limlnxn?lim?ln(1?)??ln(1?x)dx0n??n??nni?1 --------------2 1dx?2ln2?101?x = ------------2 42ln2?1e?limxne 故 n??=
xln(1?x)10??x1四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.
解：
（x0,y0)，则过原点的切线方程为设切点为
y?1x2x0?2， x（x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x0?4,y0?2.-----3 由于点
过原点和点(4,2)的切线方程为
面积
y?22-----------------------------3
s??2022(y?2?22y)dy=3-------------------3
2 或
s??20122xdx??(24122x?x?2)dx?223
222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?2旋转一周所生成的旋转体的体积.
解： 法一：V?V1?V2
10???2?(1?1?y)dy???(2?y)2dy?2??10?2?21?1?y12?(y?1)2dy -------6
?0??11??1?2???(y?1)3??2?(?)0?43 --------3 ?43法二：V=
102??(2?x)(2x?x2?x)dx0210
------------------ 5
?2??(2?x)2x?xdx?2??(2x?x2)dx
14???(2?2x)2x?x2?22x?x2dx??033?2?41221???(2x?x)?2???1???04?3?321412????2????2??32323 ------------- 4
??
ta?1,f(t)?a?at在(??,??)内的驻点为 t(a). 问a为何值时t(a)最小? 并求最3. 设
小值.
解:
由f?(t)?atlna?a?0得t(a)?1?lnlna. lna --------------- 3
又由t?(a)?
lnlna?1e?0得唯一驻点a?e 2a(lna)------------3
当a?ee时,t?(a)?0;当a?ee时,t?(a)?0,于是a?ee为t(a)的极小值点.-----2
故
a?ee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)?1?lne1?1?.ee--------------1
五．证明题（7分）
1f(0)=f(1)?0,f()?1，2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
试证明至少存在一点??(0,1), 使得f?(?)=1.
证明：设F(x)?f(x)?x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,
有F(0)?f(0)?0?0,F(1)?f(1)?1??1,--------------- 2
11111111]f()=1F()=f()-=1-=，[，2222在2上F(x)用零点定理， 又由2，知211F(1)F()=-?022根据，--------------- 2
11(，1)F(?)=0，??(,1)?(0,1)2可知在2内至少存在一点?，使得,
F(0)=F(?)=0由ROLLE中值定理得 至少存在一点??(0,?)?(0,1)使得
F?(?)=0即f?(?)?1=0，证毕. --------------3