第五章 曲线运动 第六节 向心力
A级 抓基础
1．下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法中，正确的是( ) A．物体除其他的力外还要受到一个向心力的作用 B．物体所受的合力提供向心力 C．向心力是一个恒力 D．向心力的大小一直在变化
解析：向心力是一个效果力，并不单独存在，选项A错误；做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，大小不变，方向时刻指向圆心，选项B正确，选项C、D错误．
答案：B
2．做匀速圆周运动的物体，它所受的向心力的大小必定与( ) A．线速度平方成正比 B．角速度平方成正比 C．运动半径成反比
D．线速度和角速度的乘积成正比
v22
解析：因做匀速圆周运动的物体满足关系Fn＝m＝mRω＝mvω，由此可以看出在R、v、
Rω是变量的情况下， Fn与R、v、ω是什么关系不能确定，只有在R一定的情况下，向心力才与线速度的平方、角速度的平方成正比；在v一定时，Fn与R成反比；ω一定时，Fn与R成正比．故选项A、B、C错误，而从Fn＝mvω看，因m是不变的，故选项D正确．
答案：D
3．如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用 B．老鹰受重力和空气对它的作用力 C．老鹰受重力和向心力的作用
D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析：老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力．但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的
1
作用．选项B正确．
答案：B
4.如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是( )
A．物块处于平衡状态 B．物块受三个力作用
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘 D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
解析：对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A错，B正确．根据向心力公式F＝mrω
2
可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘；根据向心力公式F＝mr?
?2π?可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，物块越容易
??T?
2
脱离圆盘，C、D错误．
答案：B
5.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C．物体所受弹力和摩擦力都减小了 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力F1(如图所示)．其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力．当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑动，则物体所受的摩擦力F1大小等于其重力．而根据向心力公式FN＝mωr可知，当角速度ω变大时，FN也变大，故D正确．
2
2
答案：D
6.如图所示，小球在半径为R的光滑半球面内贴着内壁在水平面内做匀速圆周运动，小球与半球球心的连线与竖直方向的夹角为θ，求小球的周期T(已知重力加速度为g)．
解析：小球只受重力和球内壁的支持力的作用，此二力的合力沿水平方向指向圆心，即该二力的合力等于向心力，如图所示．
故向心力F＝mg·tan θ.①
小球做圆周运动的半径r＝Rsin θ.② 根据向心力公式F＝m?
?2π?2
?r.③
?T?
Rcos θ
. g解以上①②③得T＝2π 答案：2π
Rcos θ
gL7．(多选)如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，OC距离为，
2把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大为原来的2倍 B．角速度突然增大为原来的2倍 C．向心加速度突然增大为原来的2倍 D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
3
解析：悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与小球运动方向垂直，小球的线速度不变，
vv2
A错；当半径减小时，由ω＝知ω变大为原来的2倍，B对；再由an＝知向心加速度突rrv2
然增大为原来的2倍，C对；而在最低点F－mg＝m，故碰到钉子后合力变为原来的2倍，
r悬线拉力变大，但不是原来的2倍，D错．
答案：BC
B级 提能力
8.如图所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A．F1∶F2＝2∶3 C．F1∶F2＝5∶3
B．F1∶F2＝3∶2 D．F1∶F2＝2∶1
解析：小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对
A球有F2＝mr2ω2，对B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，各式联立解得F1＝F2，故B对，
A、C、D错．
答案：B
9.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )
3
2
A．mωR C．mg＋ωR
2
42
2
B．mg－ωR D．不能确定
242
解析：对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力充当向心力．由平行四边形定则可得：F＝mg＋ωR，再根据牛顿
4
242第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为F＝mg＋ωR.故选项C正确．
答案：C
10．如图，在验证向心力公式的实验中，质量为m的钢球①放在A盘的边缘，质量为4m的钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮．a轮、b轮半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力之比为( )
242
A．2∶1 B．4∶1 C．1∶4 D．8∶1
解析：皮带传送，边缘上的点线速度大小相等，所以va＝vb，a轮、b轮半径之比为1∶2，所以则
ωa2
＝，共轴的点，角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等， ωb1
ω12a18F1m1a122
＝，根据向心加速度a＝rω，＝.由向心力公式Fn＝ma，得＝＝.A正确． ω21a21F2m2a21答案：A
11.(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小
球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( )
A．A球的角速度必小于B球的角速度 B．A球的线速度必小于B球的线速度 C．A球的运动周期必大于B球的运动周期 D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
解析：两个小球均受到重力mg和筒壁对它的弹力FN的作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心．由图可知，筒壁对球的弹力FN＝，向心力Fn＝，其中θ为圆锥
sin θtan θ顶角的一半．对于A、B两球因质量相等，θ角也相等，所以A、B两小球受到筒壁的弹力
mgmgmv2
大小相等，A、B两小球对筒壁的压力大小相等，D错误；由牛顿第二定律知，＝＝tan θrmg4πrmωr＝m2.所以，小球的线速度v＝
2
2
grtan θ
T，角速度ω＝
grcot θ
，周期T＝2π
5
rtan θ
.由此可见，小球A的线速度必定大于小球B的线速度，B错误；小球A的角速g度必小于小球B的角速度，小球A的周期必大于小球B的周期，A、C正确．
答案：AC
12.如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为 3μg时，绳子对物体拉力的大小． 2r解析：(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω0r，得ω0＝
2
μgr.(2)当ω＝
3μg时，ω＞ω0，所2r2
以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mωr，即F＋μmg＝
m·
3μg1
·r，得F＝μmg. 2r2答案：(1)
μg1
(2) μmg r2
6