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4将已知的值代入并联解三式可求得Ek?2.0?10J
第五章 机械振动
5-1 一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?A，且向x轴正方向运2动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）
题5-１图
分析与解（B）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（B）． 5-2 一简谐运动曲线如图（a）所示，则运动周期是（ ）
(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s （D）2.00 s
题5-２图
分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A/2，且向x轴正方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为-2π/3．振动曲线上给出质点从A/2 处运动到x=0处所需时间为1 s，由对应旋
5??转矢量图可知相应的相位差???23???，则26角频率??Δ?/Δt?56?rad?s?1，周期T?2???2.40s.故选
（B）．
5-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示， x1的相位比x2的相位（ ）
π（A）落后π（B）超前（C）落后π（D）超22前π
分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b）即可得到答案为（B）．
题5 -３图
5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后，振幅仍为A，则这两个简谐运动的相位差为（ ）
（A）60（B）90（C）120（D）180 分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120时，合成后的简谐运动3的振幅仍为A.正确答案为（C）．
?????
题5-4图
?5-5 若简谐运动方程为x?0.10cos??20πt?π?，式中4??x的单位为m，t的单位为s.求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t?2s时的位移、速度和加速度．
分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x?Acos??t???作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．
解 （1）将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得：振幅A＝0.10m，角频率??20πrad?s，初相?＝0.25π，则周期T?2π/ω?0.1s，频率v?1/THz． （２）t?2s时的位移、速度、加速度分别为 x?0.10cos?40πt?0.25π??7.07?10m v?dx/dt??2πsin?40π?0.25π???4.44m?s
a?dx/dt??40πcos?40π?0.25π???2.79?10m?s
?1?2-12222-25-6 一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期． 分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足F??kx，则货轮作简谐运动．通过F??kx即可求得振动周期T?2π/ω?2πm/k．
证 货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F ＝mg．当船上下作微小振动时，
取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向，如图（b）所示．则当货轮向下偏移x位移时，受合外力为
?F?P?F?
其中F?为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为
F??F??gSx?mg??gSx
题5-6图
则货轮所受合外力为 ?F?P?F????gSx??kx
式中k??gS是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动． 由?F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为 dx/dt??gSx/m?0
2222令?2??gS/mT?2π/ω?2π，可得其振动周期为 m/ρgS