5-3-4.分解质因数（一）
教学目标
1. 2.
能够利用短除法分解
整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为△☆?△☆?...?△☆的结构，而且表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：30?2?3?5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12?2?2?3?22?3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法
212例如：26，（┖是短除法的符号） 所以12?2?2?3；
3二、唯一分解定理
a3a1a2任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n?p1?p2?p3?a1?a2??ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.
ak其中为质数，?pk例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.
三、部分特殊数的分解
111?3?37；1001?7?11?13；11111?41?271；10001?73?137；1995?3?5?7?19；1998?2?3?3?3?37；
5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 1 of 9 2007?3?3?223；2008?2?2?2?251；10101?3?7?13?37.
例题精讲
模块一、分解质因数
【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分 【解析】 原式?2?33?7?53
【答案】2?33?7?53
【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空
210分解质因数：210?2?3?5?7，可知这三个数是5、6和7。 【解析】
【答案】5、6和7
【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
111555分解质因数：111555?3?3?5?37?67?(3?3?37)?(5?67)?333?335，【解析】 所以和为668.本讲
不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111?3?37。
【答案】668
【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______.
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题
【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12
【答案】12元
【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题
11?12?13?1716，12?13?14?2184，所以是2184 【解析】
。
【答案】2184
【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ． 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题
126?2?32?7，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23． 【解析】
【答案】23
5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 2 of 9
【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大
的一个是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将360分解质因数得360?2?2?2?3?3?5，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个
是合数，所有该合数必至少为6?3?3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.
【答案】8533
【例 7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到
589225?1?13?25?37?49，五个人的年龄和为125岁。
【答案】125岁
【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是
___________。
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题
【解析】 根据题意列式子如下：?a?b??a?b??23，因为23分解质因数是1与23，所以a?b?23,a?b?1，
根据和差关系算出a?12，b?11，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，
【答案】23
【例 9】 2004?7?20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 首先分解质因数，2004?7?20?2?2?2?2?3?5?7?167，其中最大的质因数是167，所以所要求
的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数. 165?3?5?1，166?2?83，168?2?2?2?3?7，169?13?13，所以165?166?167，166?167?168，167?168?169都没有4个2，不满足题意.说明
167不可行.尝试33?4?1，335?5?67，336?2?2?2?2?3?7，
334?335?336?2?2?2?2?2?3?5?7?67?167，包括了2004?7?20中的所有质因数，所以这组
符合题意，以此三数之和最小为1005.
【答案】1005
5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 3 of 9
【例 10】 A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的
最大值是 。
【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分
2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以A的可能值是231或235或【解析】
675或2011，又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为 2011－230=1781。
【答案】1781
【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）
大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来
分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。
48384?28?33?7?(22?3)?(2?7)?24?(2?32)?12?14?16?18，由此得出这四个人的年龄分别
是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数， 当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有 ?0个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为104?48384，而4838424，
所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14 岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。
【答案】12岁、14岁、16岁、18岁
【例 12】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将6384分解质因数，6384?2?2?2?2?3?7?19，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，
19?5?14?2?7，19?5?24?2?2?2?3，19，24.恰好14?19?24?6384，所以这三个数即为14，
一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推．
【答案】14，19，24
【例 13】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？
5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 4 of 9 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 分解质因数3024?24?33?7，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍
数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.
【答案】9
【例 14】 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每
队人数在100至200之间，则有分法（ ）。
A、3种 B、7种 C、11种 D、13种 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题
【解析】 只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以
可以按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案。所以答案为A 【答案】A
【例 15】 a、b、c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，
20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是___________。 A． 1 B. 3 C. 5 D. 10
【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题
【解析】 D，解：设a?b?c?d?e。由ab?3,ac?6推知c?2b；由ce?120,de?300推知d?5c?5b。2bc?b?2b?2b2，bd?b?5b?5b2，cd?2b?5b?10b2。在15,18,20,50,60,100中，满足2:5:10的
三个数是20,50,100,所以b2?100?10?10。
【答案】D
【例 16】 a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、
2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是_________。 （A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5 【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，高年级，复试，2题
C，设a?b?c?d?e。由题意知，ab?0.3，ac?0.6，推知c?2b；由ce?12，de?30，推知【解析】
305d?c?c?5b，bc?b?2b?2b2，bd?b?5b?5b2，cd?2b?5b?10b2，在1.5,1.8,2,5,6,10中，
122满足2:5:10的三个数是2,5,10，所以10b2?10，b2?1，b?1。
【答案】1
【例 17】 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，
第三组三个数字之和最大是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 分解质因数45?3?3?5，48?2?2?2?2?3，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，
5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 5 of 9