一元一次方程应用题归类汇集
一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。
事实上,方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
下面就一元一次方程中常见的几类应用题：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析 ，古典数学等。作逐一讲评，供同学们学习时参考。 一、行程问题
基本的数量关系：
（1）路程＝速度×时间 ⑵ 速度＝路程÷时间 ⑶ 时间＝路程÷速度 要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少） 常用的等量关系：
1、甲、乙二人相向相遇问题
⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题
⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 3、单人往返
⑴ 各段路程和＝总路程 ⑵ 各段时间和＝总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变 4、行船问题与飞机飞行问题
⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度 5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。 6、时钟问题：
⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。 常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分
③ 秒针的速度是6°/秒
(一)、一般行程问题（相遇与追击问题）
例1．某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？
1
讲评：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。
在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有:3x－1.5x=450 ∴x=300
在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100 故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）
例2.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为：
等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
甲 乙 解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 （2）分析：相背而行，画图表示为： 等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 600 解：设x小时后两车相距600公里，
由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 甲 乙 （3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：设x小时后两车相距600公里，由题意得， (140－90)x+480=600 50x=120 （4） 分析：追及问题，画图表示为：
等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 甲 乙 解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480
（5） 分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480
2
练习
1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。
解：等量关系 步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时
xx??3.6 8402、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
列出方程是：
解：等量关系 甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程 (18千米)
设乙的速度是x千米/时，则列出方程是： ?11?1?2?1?(x?1)?1x?18 2?2?33、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；
若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程
⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟 老师提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。 方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）
x15x15??? 15609604、在800米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于 分钟。
方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：
老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击问题（且为第一次相遇）
等量关系：快者跑的路程－慢者跑的路程＝800（俗称多跑一圈）320t－280t＝800 t＝20
5、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
解：设爸爸用x小时追上我们，则 6x＝2x＋2×1
解得 x＝0.5 0.5小时＜1小时45分钟 答：能追上。
6、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的
3
时间忽略不计）
老师提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈
即 步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2
解：设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则 5x＋60(x－1)＝60×2
7、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
解：方法一：设由A地到B地规定的时间是 x 小时，则
12x＝15??x???204??? x＝2 12 x＝12×2＝24(千米) 6060?方法二：设由A、B两地的距离是 x 千米，则 （设路程，列时间等式）
xx204??? x＝24 答：A、B两地的距离是24千米。 12156060温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。
8、甲、乙两人相距5千米，分别以2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12千米/时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙??直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。
注：此为二题合一的题目，即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。只是他们的开始与结束时间是一样的，
以此为联系，使本题顿生情趣，为诸多中小学资料所采纳。 解：设甲、乙两人相遇用 x 时，则2x＋2x＝5 x?答：小狗所走的路程是15千米。
55 12x?12??15(千米) 449、甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速
铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小
xx时即可到达，列方程得 。 答案：??60
1015
10、列车在中途受阻，耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提高到每小时50千米，问这样走多少千米，就可以将耽误的时间补上？
xx6??解：设走x千米就补上耽误的时间，则 x＝20 405060答：走20千米就补上耽误的时间。
11、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。
解：设乙的速度是 x 千米/时，则
4
3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2 ∴ x＝5 2x＋2＝12 答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。
12、一辆汽车上午10：00从安阳出发匀速行驶，途经曲沟、水冶、铜冶三地，时间如下表， 地名 安阳 曲沟 铜冶 时间 10：00 10：15 11：00 水冶在曲沟和铜冶两地之间，距曲沟10千米，距铜冶20千米，安阳到水冶的 路程有多少千米？
x?10x?20x?1010?20??解：设安阳到水冶有x千米，则 或 0.2510.250.75解，得 x＝20 答：安阳到水冶的路程有20千米。
13、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知
两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。
解：设A、B两地间的路程是 x 千米，则 方法一：
x?36x?36? 方法二：x＋36＝36×2×2 解，得 x＝108 24 答：A、B两地间的路程是108千米。
14. 若敌我相距15千米，且敌军于1小时前以每小时4千米的速度逃跑，现我军以每小时7千米的速度追击，问多少小时可以追上？
15. 某班学生以每小时4千米的速度前往A地，走了1千米时，一名学生奉命回校取一样东西，速度是每小时5千米，取了东西立即追赶学生队伍，结果在距A地1500米的地方追上队伍，求学校到A地的路程.
16. 汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km，就可以早到半小时。求A、B 两地的距离。
x16.设A、B两地的路程为x km，速度为40 km/小时，则时间为小时；速度为
40x45 km/小时，则时间为小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有
45xx??1 ∴ x = 360 4045
17.梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的
5