1. 产品质量m = 10(kg)。所用缓冲衬垫的弹性模量E = 800(kPa)，衬垫面积A = 2
400(cm)，衬垫厚度h分别取1.10、2.16、5.28(cm)，试求这三种情况下衬垫的弹性常数及产品衬垫系统的固有频率。
解 衬垫厚度h =l.10(cm)时，其弹性常数为
k?EA80?400??29.09（kN/cm） h1.10产品衬垫系统的固有频率为
1fn?2?k1?m2?29.09?105?70（Hz）
15衬垫厚度h =2.16(cm)时其弹性常数为
k?EA80?400??14.81（kN/cm） h2.16产品衬垫系统的固有频率为
1fn?2?k1?m2?14.81?105?50（Hz） 15衬垫厚度h =5.28(cm)时，其弹性常数为 EA80?400??6.06（kN/cm） h5.28产品衬垫系统的固有频率为
k?1fn?2?k1?m2?6.06?105?32（Hz） 15
2.已知一包装件的产品质量m = 6 kg，缓冲垫等效弹性系数为k = 600 N/m，当其作无阻尼自由振动时给一个初始位移为 A = 0.04 m，使之从静止开始振动，求其固有频率、位移方程。
3.已知一包装件产品质量 m = 8 kg，缓冲垫等效弹性系数为k = 500 N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为??0.05。当其作有阻尼自由振动时给一个初始位移为 A = 0.02 m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。
解：固有园频率 ??2?fm?k500??7.91（rad/s） m8阻尼系数 n????7.91?0.05?0.395 ①振动周期 T1?2??1??2?2?3.147.91?1?0.052?0.795（s）
初始条件 x0?0.02 v0?0
A?nx0?v0??2x?02?2?n2?0.395?0.02?0??20.02?027.912?0.3952?0.02（m）
?x?2?n2??arctan?02?nx0?v0???0.02?7.912?0.3952??arctan???0.395?0.02?0?????87.14° ??②位移方程 x?t??0.02e?0.395tsin?7.91t?87.14? ③振幅比 d?enT1?e0.395?0.795?1.369
A1?0.1A1 di1di??10
0.1i?7.334约为8次 Ai?1?
4. 试根据有阻尼强迫振动的幅频特性曲线（图2）分析：当λ= 0、0＜λ＜2、λ＞
2这三种情况下幅频特性曲线的特点。
图1 5.产品中易损零件的固有频率fsn =70(Hz)，阻尼比?s=0.07，产品衬垫系统的阻尼比?=0.25，固有频率fn分别为70、50、32(Hz)，已知振动环境的激振频率f =1～100(Hz)，
?m?3g，试分析这三种情况下缓冲衬垫的减振效果。 加速度峰值?y解 如果不包装，产品将直接受到振动环境的激励，易损零件将在f =70(Hz)时发生共
振，共振时的放大系数及加速度峰值为
11Hmax???7.14
2?s2?0.07??sm?Hmax??m?7.14?3g?21.42g xy(1)fn =70(Hz)的情况
因为fn = fsn，易损零件的两次共振归并为一次，发生在f ＝70(Hz)时，共振时的放大系数及加速度峰值为
H2?12?s11?4?0.252??15.97 222?0.074?4?0.25??sm2?H2??m?15.97?3g?47.91g xy1?4?2加速度峰值是无包装的2.24倍。由此可见，缓冲衬垫在这种情况下不但不能减振，反而加剧了易损零件的振动。
(2) fn =50(Hz)的情况
易损零件第—次共振发生在f =50(Hz)时，λs =50/70=0.71，其放大系数及加速度峰值为
H1???4.52 2221??24?1?0.714?0.25s??sm1?H1??m?4.52?3g?13.56g xy12?s1?4?2?211?4?211?4?0.252易损零件第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/50=1.4，其放大系数及加速度峰值为
H2??1???22?4?2?2222 ?7.54?1.4?12?0.071?4?0.25?1.4?1?1.4?4?0.25222??sm2?H2??m?7.54?3g?22.62g xy第二次共振的加速度峰值与无包装相等，有包装与无包装—样，所以缓冲衬垫没有减振效果。
(3) fn =32(Hz)的情况
易损零件的第一次共振发生在f =32(Hz)时，λs =32/70=0.46，其放大系数及加速度峰值为
H1?11??2s1?4?24?2?11?0.4621?4?0.2524?0.252?2.84
??sm1?H1??m?2.84?3g?8.52g xy易损零件的第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/32=2.19，其放大系数及加速度峰值为
1H2?2?s?12?0.07?1????4?22221?4?2?222?
222?1?2.19?4?0.251?4?0.25?2.192?2.68?2.19??sm2?H2??m?2.68?3g?8.04g xy易损零件两次共振的强烈程度相当，加速度峰值比无包装下降了62％，缓冲衬垫的减振效
果非常明显，这是因为fn =0.43fsn，即产品衬垫系统的固有频率比零件系统的固有频率低得多。
6.有一包装件，产品质量为m = 2kg，衬垫的弹性系数为k = 600N/m。将其放置在振动台上做实验，振动台输入的激振频率为3Hz，最大输入加速度为0.02g，求产品响应的最大位移和最大加速度值。
7.一个包装件系统，其固有频率 f = 20Hz，阻尼比??0.2，试求这个系统发生共振时的激振频率；已知外部激励振幅为0.5cm，试求系统共振时的振幅；当阻尼比??0.1时，再次求系统共振时的振幅。
8.有一包装件，产品质量为m = 4kg，衬垫的弹性系数为k = 800N/m。阻尼比为??0.25，试求这个系统共振时的激振频率；当外部激励振幅为0.2cm时，求系统共振时的振幅。
9.将一个固有频率为 fm =16 Hz ，阻尼比为 ? 的有阻尼弹簧质量系统固定在作简? 0.1谐振动的振动台上，其激振频率为 f =12 Hz ，最大加速度为1g，求：
⑴ 振动台运动的振幅 ym ； ⑵ 放大系数β；
⑶ 产品响应最大位移 xm ； ⑷ 产品响应最大加速度 。
10.测得产品中易损部件的固有频率 fm = 60 Hz ，产品质量m = 10kg，已知振动环境的激振频率范围为 f =1～100 Hz 。已知缓冲材料的弹性模量 E = 0.8 MPa ，缓冲衬垫与产品底部的接触面积为 A = 400cm2 ，试设计产品—衬垫系统的衬垫厚度，使包装后能减小易损部件的响应加速度。
11.产品质量m＝10(kg)，衬垫面积A＝120(cm2)，衬垫厚度h＝3.6(cm)，缓冲材料的弹性模量E＝700(kPa)，包装件的跌落高度H＝75(cm)，不计系统的阻尼和衬垫的塑性变形，试求跌落冲击过程的衬垫最大变形、产品最大加速度、冲击持续时间和速度改变量。
解: 产品衬垫系统的固有频率为:
3?4EA700?10?120?10 ω＝＝153（rad/s） ??2mh10?3.6?10
f n＝
?153＝25（Hz） ?2?2?产品的冲击持续时间为:
τ＝1/2 f n＝1/（2×25）＝0.02（s）
衬垫的最大变形为:
x m＝
2gH??2?9.8?0.75＝2 .51（cm）
153＝587（m/s）
2
产品的最大加速度为:
??m＝ω2gH＝1532?9.8?0.75xG m＝
??m587x＝60 ?g9.8产品的速度改变量为:
v＝22gH＝22?9.8?0.75＝7.67 （m/s）
12.密度为0.02g/cm3的泡沫聚乙稀的C—σm
曲线如图2所示，取跌落高度H = 100cm，衬垫厚度分别取2.5、4.5、6.5cm，试绘制这种材料的Gm—σst曲线。
13.在缓冲材料冲击机上对密度为0.035g/cm3的聚苯乙烯泡沫塑料进行冲击试验，试样厚度分别为5cm和10cm，试验面积均为10cm×10cm，试验跌落高度均为60cm，试验所得数据如表，试绘制其Gm—σst曲线。
图2
h/cm 5 测试数据 xm/(m/s2) m/kg 1.4 637 2 549 坐标计算 Gm σst/kPa 1.37 65 1.96 56 10 3 4 5 7 1 2 3 5 8 10 20 30 470 461 480 529 657 441 323 245 225 235 323 441 2.94 3.92 4.90 6.86 0.98 1.96 2.94 4.90 7.84 9.80 19.60 29.40 48 47 49 54 67 45 33 25 23 24 33 45
作业五
1.一包装件中，产品质量m = 8kg，产品脆值G = 45，衬垫面积A = 554cm2，衬垫厚度h = 5.87cm，衬垫材料为密度0.152g/cm3的泡沫聚氨酯，其C—σm曲线如图3所示，该包装件自高度为H =40cm处跌落，试问内装产品是否安全？
解 材料的C值与?m值必须满足下式： Ah554?5.87?10?6C??m??m?104?m
WH8?9.8?0.4式中?m的单位取MPa。由于采用对数坐标，在图上直线C
=104?m被变换成了曲线，此曲线与C??m曲线的交点坐标：C = 4，?m= 0.04MPa，故产品最大加速度为
CH4?40??27.26 h5.87显然，Gm＜G，产品落地后是安全的。 Gm?图3
2.产品质量m =10kg，产品脆值G =60，设计跌落高度H =80cm，选用密度为0.014g/cm3的泡沫聚苯乙烯（图4）对产品作局部缓冲包装，试计算衬垫的厚度和面积。
解 这种缓冲材料是图4中的曲线1，其最低点的坐标：C = 3.7，?m= 260kPa = 26N/cm。缓冲衬垫的厚度为
h?CH3.7?80??4.93（cm） G602
产品重力W = 98N，缓冲衬垫的面积为
GW60?982
A???226（cm）
?m26对衬垫的稳定校核：
?1.33h?2??1.33?4.93?2A被分为四块，Amin?与厚度是可取的。
?43（cm）
2
A?56.5(cm2)。显然，Amin＞（1.33h）2，所以上面计算的衬垫面积4