《电磁场理论》期末考试题
（120分钟 ）
一、 概念题. (5?8=40分)
1 写出电介质中静电场基本方程的微分形式和积分形式；
?????D??? 2分 D??E 1分 ???E?0???D?dS?q 2分 ???E?dl?0lS???2 写出磁感应强度B和磁矢位A的关系式,并写出有源及无源空间磁矢位A满足的方程；
?????22B???A 2分 有源区 ?A???0J 1分 无源区 ?A?0 1分
3 写出时变电磁场的边界条件的矢量形式；
?????E2?E1??0n???n??D2?D1???S??? 5分 ???H2?H1??Jsn?????B2?B1??0n4 写出麦克斯韦方程组和电流连续性方程的瞬时值微分形式； ????D????H?J???t??????B???E????J??0 1分 4分 ??t?t???0???B????D????5 写出正弦电磁场的复坡印亭矢量S和复坡印亭定理； ???1??S?r??E?r??H2*?r? 2分
1????S?1?E?H2???dS???2V??*?1???1????E?JdV?j2???B?H?E?D?dV 3分
44?V?6 写出电磁波极化的定义以及平面电磁波的极化形式；
在空间任一固定点上电磁波的电场强度矢量的空间取向（矢端）随时间的变化方式（轨迹）称之为极化 2分
线极化、圆极化、椭圆极化 3分
7 对于非磁性介质，写出斜入射的均匀平面波产生全反射的条件； 对于非磁性介质，斜入射的均匀平面波产生全反射的条件是： 1、入射波自介质1向介质2斜入射，且?2??1；2分
02、入射角等于或者大于临界角，也即?c??i?90。 3分
8 计算长度dl?0.1?的电基本振子的辐射电阻以及电流振幅值为2mA时的辐射功率。
?dl电基本振子的辐射电阻为Rr?80?2????0???7.8957(?) 2分 ???52辐射功率可由辐射电阻得到 Pr?
12I2Rr?1.5791?10(W)?15.791(?W) 3分
二、 一个半径为a的均匀带电圆盘，电荷面密度为?s，求轴线上任意一点的电位。
第二题用图
解：使用柱坐标系，将圆盘轴线作为z轴，圆盘上任意一点表示为(?,?,z) 面电荷产生的电位公式为
?(r?)?14??(r?')?10??SSr?r?'dS' 2分 根据坐标系可知 r??za?z， r?'?a?x?cos??a?y?sin? 2分 被积函数中 ?????S(r')?S， r?r'?z2??2 2分
面积元 dS??d?d? 1分 可以得到
?(z)?14????(r?')11S??a?d?00Sr??r?'dS'?4???2?00dz2??2 ??S222??a?z?z? 1分
0以上是z?0的结论，根据对称性，可知轴线上任意一点的电位为
?(z)??S222??a?z?z? 1分
0(10分)
1分
三、内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I，求柱内外的磁感应
强度。 (10 分)
bal? 第三题用图
??z，大小为 解：使用柱坐标系，使圆柱轴线在z轴，电流密度矢量沿轴向J?Jar?a,J?0J?Ia?r?b,r?b,?(b?a)22 2分
J?0???? 1分 根据问题的对称性，可知磁场强度B只有圆周?方向的分量，B?B?a使用安培环路定理计算不同区域的磁场强度
?C????B?dl??0?J?dS 2分
S取轴线为圆心，半径为r的圆环
C?????r?a时，?B?dl?2?rB?，?0?J?dS?0，可得B?0 1分
S??a?r?b时，?B?dl?2?rB?
C22??rr?a22?0?J?dS??0?JdS??0J?(r?a)??0I2 1分 20b?aS22??0I(r?a)?? 1分 a可得 B?222?r(b?a)??r?b时，?B?dl?2?rB?
C??r?0?J?dS??0?JdS??0I 1分
0S??0I?? 1分 a可得 B?2?r四、一个截面如图所示的长槽，向y方向无限延伸，两侧边的电位为零，槽内y??，??0，底部电位为?(x,0)?U0，求槽内电位。 (12分)
y??0??0??U0a第四题用图
x
解：使用分离变量法，直角坐标系下，电位满足的二维拉普拉斯方程为
???x22????y22?0 1分
边界条件为
x?0,x?a,?(0,y)?0?(a,y)?0
y?0,y??,?(x,0)?U0?(x,?)?0
分离变量为??X?x?Y?y? 根据x坐标的周期边界要求，选取
X?x??a1sinkxx?a2coskxx 1分
根据边界条件
x?0,x?a,?(0,y)?0 可得 a2?0 1分 ?(0,y)?0 可得 kx?n?a,(n?1,2,3,.... . )1分
根据y坐标的无限边界要求，选取
Y?y??c1e?kxy?c2ekxy 1分
根据边界条件
y??,?(x,?)?0 可得 c2?0 1分
可得基本乘积解为
?n?Xn(x)Yn(y)?Cnsinn?axe?n?ay 1分
为满足边界条件，选取基本解的叠加构成电位的表达式为
??n????n?1??Cn?1nsinn?axe?n?ay 1分
y?0,?(x,0)?U0，可得
?U0??n?1Cnsinn?ax 1分
n?a待定系数的求解利用三角函数的正交归一性，两端同时乘以sin分，可得
x，并在一个周期内积
?a0aU0a?n??U0sin?x?dx?Cn?(1?cosn?) 1分
2n??a? n为奇数时Cn?4U0n?，n为偶数时Cn?0，1分最终可得槽中电位为
????n?1,3,54U0n?sinn?axe?n?ay 1分
五、从麦克斯韦方程组出发，推导各向同性、均匀、无耗介质中，无源区正弦电磁场的波动
方程。
(8分)
解：对于正弦电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形式的波动方程，无源区麦克斯韦方程组为
??????????????H?j?D?????D??E?E??j?B 本构关系 ????
?D?0?B??H??B?0可得
??????????????H?j??E???E??j??H 2分 ??E?0??H?0??取磁场旋度方程??H?j??E，左右两端取旋度 ????22左边????H??(??H)??H???H 1分 ???2j????E?j??(?j??H)????H右边 1分