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解答数学应用问题
中考数学试卷中会有一些与生活联系非常密切的题目，这些题目考查我们运用数学知识分析问题，解决问题的能力。这些题目与列方程解应用题完全不同，解答这些题目需要较多的数学知识和较高的能力。
解这类题目需要注意三个问题：
1、读懂题目：这类题目有一个共同的特点，题目的文字特别多。文字多的原因是需要正确地表述问题情境和需要解决的问题，避免产生歧义。也就是我们常说的“阅读量大”。在中考考场上大阅读量给我们带来了心理压力。往往不能集中精力认真阅读，读一遍不知道什么意思，就开始紧张，越紧张就越读不懂题目，就更加紧张，造成很大的心理负担，影响自己水平的发挥。
因此，我们要有足够的心理准备，遇到这样的题目时提醒自己不要紧张，定下心来认真阅读和思考，这样会充分发挥自己的智慧，顺利完成题目的解答。
读题是解题的开头，读题，不仅是把题目完整的读下来，而且还要读懂。这和阅读文章一样，首先读明白说的是什么事情，要解决什么问题；其次在这件事情中提供了哪些使用数学知识解决问题的信息；最后读清楚这些信息之间有哪些联系，给我们提供了什么启示。
2、建立数学模型
我们知道，利用数学知识解决应用问题的关键是建立数学模型，有了数学模型就有了解决问题的知识和方法。常用的数学模型有：方程（组）、不等式（组）、函数、统计等，每一类模型中还有小的类型，例如，函数模型中又包括：一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、三角函数等。
3、解答
这类题目的解答并不困难，往往解答的书写量还没有阅读量大，有时甚至更少。当你读懂了题目，选准了数学模型，解答就应该不成问题了。但是，由于这些题目与实践生活联系密切，提供的数据往往与我们在课堂上做的练习题目差别很大，需要我们动一番脑筋去算。这时正确地计算很重要。
下面我们就来看一些题目：
一、一次函数模型
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例1 一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后，以每小时80千米的速度匀速行驶，前往与A处相距636千米的B地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：
行驶时间x（时） 余油量y（升） 0 100 1 80 2 60 2.5 50 （1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）按照（1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达C处，求此时油箱内余油多少升？
解：（1）如图，根据表中的数据，在平面直角坐标系 中，描出各点，这些点可以看成一条直线上的点，因此， 可以用学过的一次函数来表示y与x之间的变化规律。
设y与x之间的关系为一次函数：（k≠0） y?kx?b将（0，100）和（1，8 0）代入，得
1008060504020yO122.53x?b?100 解得 ??k?b?80y??20x?100
?k??20 ∴??b?100
验证：当x?2时，y??20?2?100?60，符合一次函数；
当x?2.5时，y??20?2.5?100?50，也符合一次函数．
∴可用一次函数y??20x?100表示其变化规律。 （2）当x?4.2时，由y??20x?100可得y?16
即货车行驶到C处时油箱内余油16升．
注意：
1、为什么要利用函数的图象来确定函数模型呢？
我们知道，函数有三种表示法，这三种表示法虽然形式不同，但本质却表示
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同一函数关系。而最容易判断函数类型的是函数的图象，各类函数图象都有自己的特点，因此使用函数图象来判断函数类型是十分有效的方法。
2、为什么在确定了一次函数的解析式后还要进行检验？
我们知道，根据表格中的数据在平面直角坐标系中描点后，根据这些点的位置判断它们属于一次函数模型，又根据其中两个点列出了一次函数的关系式，这是一种由特殊到一般的推理，这种推理所得到的结论不一定正确，因此还要检验另外两组数据是否符合。
例2 小明到三山服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 月销售件数（件） 月总收入（元） 甲 200 1400 乙 150 1250 假设营业员月基本工资为b元，销售每件奖励a元，月销售件数为x件，月总收入为y元．
（1）确定y与x之间的关系式；
（2）若营业员小俐当月总收入不低于1800元，她当月至少要卖服装多少件？
解：（1）根据题意，得 y?ax?（ba≠0）
?1400?200a?b， 解得 ??1250?150a?b．?a?3 ??b?800
（2）根据题意，得 y≥1800 即3x?800≥1800
1解得 x≥333．
3
答：小俐当月至少要卖服装334件。
注意：题目中给出的月工资计算方法虽然没有明确表明是一次函数关系，但用式子表示出来却和一次函数的解析式类似，但是，它却不是一次函数。因为，自变量x只能取整数。
二、正比例函数、反比例函数模型
例3 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知
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药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y?图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
a1? 解：（1）将点P?代入函数关系式， y?3，??t?2?a
（a为常数，且a≠0），如t
1 1 2y（毫P t(小
解得 a?3 ∴y?23 2tO 3 设y?kt（k≠0）
333 解得t? 点（，1）在y?kt上 2t2223再（，1）将代入y?kt 解得 k?，
322∴y?t．
331（2） 根据题意，得 ? 解得 t?6
2t4将y?1代入y?∴至少需要经过6小时后，学生才能进入教室．
注意：
1、这里为什么先求反比例函数的解析式，然后才求正比例函数的解析式？ 我们知道题目中先给出的正比例函数关系然后才是反比例函数关系，按理说应该先求正比例函数的解析式，然后再反求比例函数的解析式，但题目中给出的函数图象中只有反比例函数图象上有一点P的坐标是知道的，根据这个条件只能先求出反比例函数的解析式，然后再寻找条件求正比例函数的解析式。
2、根据什么条件求正比例函数的解析式呢？
从图象上我们发现，有一个点即在反比例函数图象上又在正比例函数图象上，且它的纵坐标为1，只要确定了这个点的横坐标就可以了。又因为这个点在
反比例函数的图象上，这个点的坐标能使反比例函数关系式成立，代入即可求得。
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有了正比例函数图象上的一个点，确定正比例函数的解析式就不困难了。 三、二次函数模型
例4 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y?12x?5x?90，投入市场后当年能全部10售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲??1x?14，请用含x的代20数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w甲（万元）与x（吨）之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙??1，且x?n（n为常数）
10在乙地当年的最大年利润w乙为35万元．试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
?b4ac?b2?参考公式：抛物线y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标是??，?．
2a4a??2?1?解：（1）甲地当年的年销售额为??x2?14x?万元；
?20?w甲??12?12?x?14x??x?5x?90?20?10? 32??x?9x?9020（2）在乙地区生产并销售时，
w乙??121?1?x?nx??x2?5x?90???x2?(n?5)x?90． 105?10?