南京信息工程大学 试卷
2015 － 2016 学年 第 一 学期 高等数学 课程试卷( A 卷)
本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；任课教师 ；出卷时间 15 年 11 月
系 专业 班 学号 姓名 得分
一、填空题(每题3 分，共 15分)
1、函数y?ln(1?x)的定义域 {x|x??1,且x?0} .
x2、lim?2n??11 .（夹逼准则） = ????n??n2?12n2?2n2?n??h?03、已知f?(3)?2，那么limf(3?h)?f(3?h)= ?2 .（导数定义）
2h1?ax224、若当x?0时，有ln～sin(6x)，则a= ?3 （等价无穷小，利用极限=1求） 21?ax·5、已知f(x)?sinx?cosx，则f(n)(x)= ?n?? （先化简，再求值） ?2sin?x???42??二、选择题(每题3 分，共 15分)
1、f(x)?2在x?0处 ( C )
(A) 有定义 （B）极限存在 （C）左极限存在 （D）右极限存在 2、数列?xn?有界是它收敛的（ B ）
（A) 充分但不必要条件 （B）必要但不充分 （C）充要条件 （D）不充分也不必要条件
1xx2?2x的单调增加区间 ( C ) 3、函数f(x)?ln|x|?2 (A) (??,0) (B) (??,1) (C) (0,??) (D) (?1,??) x2?14、曲线y? （ B ） (x?1)2 （A）没有水平渐近线 （B）有垂直渐近线 （C）有斜渐近线 （D）没有渐近线 ?f(x)?,x?0,5、由F(x)??x 其中f(x)在x?0处可导，f?(0)?0，f(0)?0，则x?0是F(x)的
??f(0),x?0,( C )
（A）连续点 （B）第二类间断点 （C）第一类间断点（可去间断点） （D）连续点或间断点不能由此决定
三、计算题(每题6分，共30分)
x?ax) ． 1、lim(x??x?ax?ax2a2a?x?a) =lim(1?解 lim( 3分 )x?a2axx??x?ax??x?alim2ax ＝ex??x?a=e2a ． 2、limarctanx?xln(1?2x3)． （上下同时求导后等价）
x?01 解 limarctanx?x2x =lim1?x2?1x?03x?06x2 =lim?11x?06(1?x2)=?6 ． 3、exy?tan(xy)?y，求y?(0)． 解 方程两端对x求导，得
exy?y?xy???sec2(xy)?y?xy???y?， 3解得
y??yexy?ysec2(xy)1?xexy?xsec2(xy). 5当x?0时，y?1. 代入y?，得y?x?0?2. 64、y?f?x2?，f?(x)?arctanx2，求dydxx?1． 4 解
dydx?f?(x2)?2x?arctan?x4??2x， 代入x?1，得dydxx?1?2arctan1??2. 5、求由参数方程??x?2costy?sint所确定的函数y?y(x)的二阶导数．
? 解
dydx?cost?2sint??12cott， 2 d2y??dx2????12cott????1(2cost)? 46分
4分 6分
分 分
分
分
6分 分 分 ?四、limx????x111csc2t???csc3t. 6分 2?2sint42?ax?1?bx?2?0，求a，b．(８分)（分子分母有理化）
2222??1???bx?2??x?ax?1?bx?2??lim?xx?ax 解 lim?ax?1?bx?2x???x???2 4分
?1?b?x??a?4b?x?3?0， 5分
=lim22x???x2?ax?1?bx?2所以
??1?b2 ?0,??b?1.?a?4b?0, 解得
?a??4. (b??1舍去) 五、求f(x)?x3?3x2?9x?5的极值? (８分)
解 f?(x)?3x2?6x?9?3(x?3)(x?1)，
由f?(x)?0解得:x1??1,x2?3．又 f??(x)?6x?6?6(x?1)， 且
f??(?1)??12?0, f??(3)?12?0． 从而 f(?1)?10是f(x)的极大值；f(3)??22是f(x)的极小值． ?3六、设f(x)???ex,x?1,?1,问a,b取何值时f?(1)存在. (8分)
?ax?b,x?解 f?(1)存在, 故f(x)在x?1处连续． 又因为
xlimf(x)?limex3?1?x?1??e?f(1)， limx?1?f(x)?limx?1?(ax?b)?a?b,
所以 a?b?e． 因为
f(x)?f(1)ex3 f1)?l?e??(x?i1m?x?1?lx?i1m?x?1?3e，
f(x)?f(1)ax?b? f?(1)?limx?1?x?1?lime?x?1?x?1?a， 所以 a?3e． 从而b??2e． 1七、设函数f(x)具有二阶连续导数，且limf(x)x??0，f??(0)?4，求lim?f(x)?x0xx?0??1?x??? 8分 3分
7分 8分
3分 7分
8分
f(x)?0，可得f(0)?0，且
x?0xf(x)?f(0)?0， f?(0)?limx?0x故
解 由lim limf(x)f?(x)f??(x)1?lim?lim?f??(0)?22.
x?0xx?02xx?0224分
所以
1xf(x lim?f(x)?xf(x)?)x2x?0??1?x???lim?x?0??1?f(x)?x???e2. 八、已知函数f(x) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)?0，f(1)?1. 证明： （１）存在??(0,1)，使得f(?)?1??．
（２）存在两个不同的点?，??(0,1)，使得f'(?)f'(?)?1．(8分)
证明 （１）令F(x)?f(x)?x?1，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导, 又 F(0)?f(0)?1??1?0， F(1)?f(1)?1?0， 所以由零点定理，得：???(0,1)，使得F(?)?0, 即f(?)?1??. （２）在区间[0,?]和[?,1]上分别对f(x)用Lagrange中值定理得 先假设确定两个变量的大小 f?(?)?f(?)?f(0)?， ??[0,?]，
f?(?)?f(1)?f(?)1??， ??[?,1]， 则
f?(?)?f?(?)?f(?)?f(0)f(1)?f(?)??1???f(?)??1?(1??)f(?)?1. 8分
3分 5分
8分