习 题 五 连续体力学
5-1 一飞轮的半径为2m，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。当重物下落时可使飞轮旋转起来。若重物下落的距离由方程x?at2给出，其中a?2.0ms2。试求飞轮在t时刻的角速度和角加速度。
[解] 设重物的加速度为at，t时刻飞轮的角速度和角加速度分别为?和?，则
d2xat?2?2a
dt因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 at?R? 则 ??at2a2?2.0???2.0rad/s2 RR2 由题意知 t=0时刻飞轮的角速度?0?0 所以 ???0??t??t?2.0trads
5-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200radmin，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止转动。若
该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间? [解] 分三个阶段进行分析
10 加速阶段。由题意知 ?1??1t1 和 ?12?2?1?1 得
?12?1t1?1??
2?1220 匀速旋转阶段。 ?2??1t2
?12?1t33制动阶段。?1??3t3 ??2?3?3 ?3? ?2?320
21由题意知 ?1??2??3?100
5-1
联立得到
?1t12??1t2??1t32?100?2?
2??100?所以 t2?2??2002??200?6??56060?183s 2??20060因此转动的总时间 t?t1?t2?t3?6?5?183?194s
5-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速，使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B。(1)若测得这时齿轮的角速度为600rs，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大?
[解] (1) 齿轮由A转到B孔所需要的时间t? 所以光速 c?2?500?1?? ?600?2?3?1052L2?500??3?108ms
1T3?105(2) 齿轮边缘上一点的线速度 v??R?5?10?2?600?2??1.88?102ms 齿轮边缘上一点的加速度 a??2R??600?2???5?10?2?7.10?105ms2
2
5-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。已知该点转过的距离s与时间t的关系为
s?a03a02t?t。求证它的切向加速度每经过时间?均匀增加a0。 6?2dvd2sa0??t?a0 [证明] 该点的切向加速度 at?dtdt2??a??a?所以 at?τ?at??0?t????a0???0t?a0??a0
??????因此，切向加速度每经过时间?均匀增加a0
5-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b。中心O取为原点，坐标系如图
所示。设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为
5-2
JOx?JOyJOz1Mb2 121?Ma2 121?Ma2?b2 12yab??Ozdm[解] 根据转动惯量的定义 J??r2dm
对Jox 取图示微元，有 Joxx11??dmb2?mb2 m12121ma2 12同理可得 Joy?对于 Joz??r2dm??(x2?y2)dm??x2dm??y2dm ?Joy?Jox?
5-6 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大?
[解] 建立坐标系，取图示面积元 ds?rdrd?，根据转动惯量的定义有
11ma2?mb2 1212ydmd?rdr?Jox??y2dm???
?0?0Rr2sin2?2mrdrd? ?R21mR2 4-RORx2m?R2?0?0?Rr3sin2drd??5-7 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示。求细棒对轴AA?的转动惯量。 [解] 建立图示的坐标系，取图示dl线元，dm??dl??Rd?， 根据转动惯量的定义式有
JAA???x2dm??R2sin2??Rd?
0? ?
mR2??0?sin2?d??1mR2 25-8 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量。 [解] 建立如图所示的坐标系，取一????d?的球带，ds?2?rRd?它对y轴的转动惯量
yr?05-3
xdI?r2dm?r2又 r?Rcos?
m2?rRd? 24?RmR23cos?d? 所以 dI?2?I??dI??2??2mR22cos3?d??mR2 23此即空心球壳对直径轴的转动惯量。
5-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和
m2的物体，且m1>m2。设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质
量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的
张力。
[解] 物体m1,m2及滑轮M受力如图所示
RMm1?m2g?T2?N?T1?T1m1m2m2对m1:对m2:对M:?T2?Mg?m1gm1g?T1?m1a (1) T2?m2g?m2a (2)
??T1r?T2r?J? (3)
又 J?Mr2/2 (4)
a?r? (5)
?T1?T1 (6)
T2?T2 (7)
联立（1）-（7）式，解得
?a?(m1?m2)g
m1?m2?M/25-4
T1?2m2?M/2m1g
m1?m2?M/22m1?M/2m2g
m1?m2?M/2T2?
5-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，其质量和半径分别为m=2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力T1=1 kg，
T2=2kg时，求鼓轮的角加速度。
[解] 根据转动定律，取顺时针方向为正
?T1r?T2R?J?
(1)
(2)
J?mr2/2?MR2/2 联立(1)，(2)式可得 ???2T1r?2T2Rmr?MR22?34.6rad/s2
5-11 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀角速走动，如果人在圆盘上走了一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了多少角度?
[解一] 取m和M组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒。设人相对圆盘的速度为v，圆盘的角速度为?，设人转动方向为正方向，则 mr(v??r)?J??0
而 J?MR/2 联立（1）、（2）式可得
2(1) (2)
mvr
MR2/2?mr2人在转盘上走一周所用的时间t?2?r/v
???转盘转过的角度为
mr2???t??2? 负号表示方向与正方向相反。 22MR/2?mr[解二]
由角动量守恒定律可解（见上）
5-5