第一章 多项式（第1讲）
目标与要求
理解数域、一元多项式的概念，掌握一元多项式的运算及基本性质．
重点难点
重点：一元多项式的概念、运算及基本性质． 难点：一元多项式的定义．
设计安排
实际问题为出发点，引出数域的概念，通过教材P2（例1）加深对概念的理解，最后指出：任何数域都包含有理数域作为它的一部分．给出一元多项式的有关概念，进而讨论其运算及基本性质，补充例题
（幻灯片例2）加深对本段内容的理解．
教学进程见幻灯片部分．（2课时）
教学内容
§1 数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P就称为一个数域.
全体有理数的全体组成一数域
全体实数组成的集合、全体复数组成的集合也都是数域. 上述三个数域常用字母Q、R、C表示. 注意：全体整数组成的集合就不是数域.
数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.而代数所研究的问题主要涉及数的代数性质.
例1 所有具有形式a?b2的数（其中a,b是任何有理数），构成一个数域. 例2 所有整组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于除法不封闭. 所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.
§2 一元多项式
1 一元多项式
定义 设n是一非负整数，形式表达式
anxn?an?1xn?1???a1x?a0,
其中a0,a1,?,an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.
aixi称为i次项，ai称为i次项的系数.用f(x),g(x),?或f,g,?等来表示多项式.
同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(x)?g(x). 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.
如果an?0，那么anxn称为多项式的首项，an称为首项系数，n称为多项式的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式f(x)的次数记为?(f(x)).
2 多项式的运算 设
f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0 g(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0
是数域P上两个多项式，即f(x)??axii?0ni，g(x)??bxjj?0mj
在表示多项式f(x)与g(x)的和时，如n?m，为了方便起见，在g(x)中令
bn?bn?1???bm?1?0，那么f(x)与g(x)的和为
f(x)?g(x)?(an?bn)xn?(an?1?bn?1)xn?1???(a1?b1)x?(a0?b0)??(ai?bi)xi?0ni
而f(x)与g(x)的乘积为
f(x)g(x)?anbmxn?m?(anbm?1?an?1bm)xn?m?1???(a1b0?a0b1)x?a0b0
其中s次项的系数是
asb0?as?1b1???a1bs?1?a0bs?所以f(x)g(x)可表成
i?j?s?abij
f(x)g(x)??(?aibj)xs.
s?0i?j?sn?m?(f(x)),?(g(x))). 显然，?(f(x)?g(x))?max(对于多项式的乘法，可以证明，若f(x)?0,g(x)?0，则f(x)g(x)?0，并且
?(f(x)g(x))??(f(x))??(g(x))
多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积. 结果均可推广到多个多项式的情形. 运算法则：
1. f(x)?g(x)?g(x)?f(x). （加法交换律） 2. (f(x)?g(x))?h(x)?f(x)?(g(x)?h(x)) （加法结合律） 3. f(x)g(x)?g(x)f(x) （乘法交换律） 4. (f(x)g(x))h(x)?f(x)(g(x)h(x)) （乘法结合律） 5. f(x)(g(x)?h(x))?f(x)g(x)?f(x)h(x) （乘法分配律） 另外：若f(x)g(x)?f(x)h(x)且f(x)?0，则g(x)?h(x).
定义 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x].
备注
提出如下问题：
1．中学数学中的多项式与高等代数中的多项式有何区别？ 2．多项式相等与方程有无区别？
3．次数公式?（f+g）?max（?（f）,?（g））中何时取“=”号？
作业布置
课后相应习题
第一章 多项式（第2讲）
目标与要求
理解整除的概念；掌握整除的基本性质和带余除法定理．
重点难点
重点：掌握整除的基本性质和带余除法定理． 难点：整除的概念、性质．
设计安排
通过P[x]中多项式的运算，引出如何描述两个多项式的相除关系问题，进而讨论带余除法、整除问题．最后强调：P[x]中的多项式不能做除法,整除性不是多项式的运算,它是P[x]中元素间的一种关系,即任给f(x) , g(x) ?P[x]，可以判断 g(x) | f(x) 或 g(x) | f(x).教学进程见幻灯片部分．（2课时）
教学内容
§3 整除的概念
1 整除的概念
带余除法 对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)?0，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使 f(x)?q(x)g(x)?r(x) 成立，其中?(r(x))??(g(x))或者r(x)?0，并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.
带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除f(x)的余式. 定义 数域P上的多项式g(x)称为整除f(x)，如果有数域P上的多项式h(x)使等式
f(x)?g(x)h(x)
|f(x)”表示g(x)不能整除成立.用“g(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x)，用“g(x)?f(x).
当g(x)|f(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式.
定理1 对于数域P上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中g(x)?0，g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
当g(x)|f(x)时，如g(x)?0，g(x)除f(x)的商q(x)有时也用2 整除的几个常用性质
f(x)来表示. g(x)性质1. 若f(x)|g(x),g(x)|f(x)，则f(x)?cg(x),其中c为非零常数. 性质2. 若f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则f(x)|h(x)（整除的传递性）. 性质3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. 性质4. 任一多项式f(x)一定整除它自身. 性质5. 任一多项式f(x)都能整除零多项式0.
称u1(x)g1(x)?u2(x)g2(x)???ur(x)gr(x)为g1(x),g2(x),?,gr(x)的一个组合. 于是，有若f(x)|gi(x),i?1,2,?,r，则
f(x)|(u1(x)g1(x)?u2(x)g2(x)???ur(x)gr(x)).
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变. 即若f(x)，g(x)是P[x]中两个多项式，P是包含P的一个较大的数域.当然，f(x)，g(x)也可以看成是P[x]中的多项式.从带余除法可以看出，不论把f(x)，g(x)看成是P[x]中或者是P[x]中的多项式，用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的.因此，若在P[x]中g(x)不能整除
f(x)，则在P[x]中，g(x)也不能整除f(x).
备注
整除的定义应注意：
1．整除的定义与数域扩大（缩小）无关； 2．由x?x2?1不能认为x2可以整除x，因为1?P[x]。
xx3．多项式整除不同于中学整数的整除，例如零次多项式2可以整除零次多项式1；但
整数2不能整除整数1．
作业布置
课后相应习题．
第一章 多项式（第3讲）