突破点2 解三角形
(对应学生用书第167页)
提炼1 常见解三角形的题型及解法 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.
提炼2 三角形形状的判断 (1)从边出发，全部转化为边之间的关系进行判断． (2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断．
注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.
提炼3 三角形的常用面积公式 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，其面积为S. 111
(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
222111
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
222
1(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径)．
2
回访1 正、余弦定理的应用
1．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
3π
A. 4π
C. 4
π
B. 3πD. 6
C [∵b＝c，∴B＝C.
πA
又由A＋B＋C＝π得B＝－.
22由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得 sin2A＝2sin2B(1－sin A)， πA?即sin2A＝2sin2??2－2?(1－sin A)， A
即sin2A＝2cos2(1－sin A)，
2AAA
即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，
222AA
1－sin A－2sin2?＝0， 整理得cos2?2?2?A
即cos2(cos A－sin A)＝0.
2AπA
∵0
222∴cos A＝sin A. π
又0
4
2．(2013·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝( )
A．23 C.2
B．2 D．1
abB [由正弦定理得：＝，∵B＝2A，a＝1，b＝3，
sin Asin B∴
13＝. sin A2sin Acos A
∵A为三角形的内角，∴sin A≠0， ∴cos A＝
3. 2
ππ
又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝. 63
π
∴C＝π－A－B＝，∴△ABC为直角三角形．
2由勾股定理得c＝12＋
3
2
＝2.]
4
3．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C
55
＝，a＝1，则b＝________. 13
2145 [在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， 13513
3123541263∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 5135135136563
1×6521abasin B
又∵＝，∴b＝＝＝.]
sin Asin Bsin A313
5回访2 三角形的面积问题
1
4．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝( )
2A．5 C．2
B.5 D．1
111
B [∵S＝AB·BCsin B＝×1×2sin B＝，
222∴sin B＝
2π3π，∴B＝或. 244
3π
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝5，
4此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
π
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，
4此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝5.]
5．(2014·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
abc3 [∵＝＝＝2R，a＝2，
sin Asin Bsin C又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为 (a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a2bc1∴＝＝＝cos A，∴∠A＝60°.
2bc2bc2
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，
113∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝3.]
222回访3 正、余弦定理的实际应用
6．(2014·全国卷Ⅰ)如图2-1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从