《西藏科技》
２０１２
年 期（总第 期） １１ ２３６
科教论坛
例谈中学数学中不等式的证明方法及技巧
泽碧啦（西藏拉萨市第八中学，西藏 拉萨 ８５００００）
摘 要：不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，因此，不等式在数学中占有重要地位。由于其本身的完美性及证明的困难性，使不等式的证明成为中学范围内各种考试的热门试题。不等式是多种多样的，所以不等式的证明方法也是灵活多样的，虽然它的技巧性和综合性都比较强，但总体上来说还是有章可寻的。文章例谈了不等式的证明方法及技巧，希望对今后我们在碰到类似问题时能起到一定的指导作用。
关键词：不等式定义 基本性质 证明方法
正负，采用了配方法，使题中出现了 （ｘ－
１ 不等式的定义
在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式．不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非 严格不等式，或称广义不等式。
３
２） 的形
２
式，从而易于判断符号，作出结论。 ２．２ 利用基本不等式法
常用的基本不等式有：
１、ａ，ｂ∈Ｒ ａ２＋ｂ２ ２ａｂ当且仅当ａ＝ｂ时取等号。
２ 证明方法及技巧
不等式的证明是中学数学的一个难点，证明不等式时
所用的各种方法几乎涉及了初等数学的全部内容，因此通过不等式这条纽带可以把初等数学中的各部分内容有机的联系起来。证明不等式没有固定的程序，证法也因题而异，而且灵活多样，技巧性强，证明不等式的基本方法有多种，大致分述如下。
号。
２、ａ，ｂ∈Ｒ＋
ａ＋ｂ２
槡ａｂ当且仅当ａ＝ｂ时取等
３、ａ，ｂｃ∈Ｒ＋ａ３＋ｂ３＋ｃ３ ３ａｂｃ 当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取等号。
、，
ａ＋ｂ＋ｃ ４ａｂｃ
Ｒ＋ ∈
３
３ 槡
ａｂｃ 当且仅当
２．１ 比较法比较法证明不等式是最常用的不等式的证明方 法，用比较法证明不等式一般分为两类：一类是做差法，一类是做商法。这两种方法的优点是明了容易想到。但是两种方法操作起来并不是很容易的事。１、做差法：在比较两个实
，。
数大小时，我们规定ａ＞ｂ ａ－ｂ＞０ａ＜ｂ ａ－ｂ＜０这里
、
的ａｂ可推广为一般的代数式，这就是做差法的理论依据。２、做商法：两个正数
ａ＝ｂ＝ｃ时取等号。
例２：利用基本不等式证明下列不等式已知ａ、ｂ、ｃ为互不相等的正数，求证ａ４ ＋ｂ４ ＋ｃ４
＞ａｂｃａ＋ｂ＋ｃ
（）。
４
证明 ∵ａ ＋ｂ ＞２ａｂ ４ ４ ２ ２ ｃ＋ａ ＞２ｃａ
三式相加，得：（
４
２ ２
ｂ ＋ｃ ＞２ｂｃ
４
４ ２ ２
ｃａ ）
２ ２
２ａ ＋ｂ
４ ４
） （ ２ ２ ２ ２
＋ｃ ＞２ａｂ ＋ｂｃ ＋
４
还可以用求商比较大小，即若ａ＞０ｂ＞０ ＞１
ｂ
ａ
ａ＞
ａｂ ２ ２ ２ ２ ｃａ＋ａｂ ２ａｂｃ 三式相加，得：（
又
①
２ ２
２ ２
２
２ ２
２
２
２ ２
＋ｂｃ ２ａｂｃ ｂｃ ＋ｃａ ２ａｂｃ
２ ２
２ ２
ａｂｃ ２
２
２ａｂ ＋ｂｃ ＋ｃａ
２ ２
）
（ ２
２ａｂｃ＋
ｂ＞０这是两个值为正的式子用做商法的理论依据。例１：
证明不等式 ｘ２ ＋３＞３ｘ。
由①、②式及不等式的传递性，得ａ
４
＋ｂ
４
＋ｃ ＞ ４
ｂ只要证明ａ－ｂ＜０
，
分析：要证明ａ＞ｂ，只要证明ａ－ｂ＞０；要证明ａ＜
，
２ ２ 证明： （ ）
∵ ｘ ＋３ －３ｘ＝ｘ －３ｘ＋
２ ３（ ３ （２ ） ） ２ － ２
（ ）
ａｂｃａ＋ｂ＋ｃ
技巧：熟练掌握不等式的基本性质，发现它们的规律， 把要证明的式子进行分解和合并。
（
＋３＝ ｘ－
２
２ ３
）
３ ３
２ ＋ ４ ≥ ４ ＞０
２．３ 分析综合法１、综合法：用综合法证明不等式是由题设
条件出
发，根据不等式的性质或其他已知不等式，推出要证的不等式的一种方法。由于它涉及的知识比较广泛，还要求对许多知识的把握，以及对一些常见的恒成立的
５１
∴ｘ ＋３＞３ｘ 技巧：此题在证明的变形过程中，为了判断差式的
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不等式的熟记和对其内涵的把握，因此，它是一种较难的方法。２、分析法：分析法是一种间接证法，先假定要证的不等式成立，然后由它出发推出一系列与之等价的不等式，直到得到一个比较容易证明的不等式或一个明显成立的不等式，由于等价性，从最后的不等式成立，得知原不等式成 立。
例 设 ， ，… ，求证
ｘｎ ∈Ｒ＋ ３ ｘ１ ｘ２ ２ ２
ｘ１ ２ ｘ２ ｘ ｎ－１ ｘｘ
＋ ＋＋ ＋ ｘｘ ｘ２ ｘ３ ｘｎ ｘ１ ｘ ｎ 由算术平均数和几何平均数之间的关系，可得
这样便得出矛盾，所以假设不能成立，即欲证的命题 成立。
２．５ 数学归纳法对含自然数ｎ的不等式的证明，一般采用
数学归
纳法，数学归纳法的证明原理为：一个关于自然数ｎ的命题 只要满足以下两个条件：
、当
ｎ＝１ 时，命题成立。 １
、假设 ｎ＝ｋ 时，命题成立，并由此推出 ｎ＝ｋ＋１
２
…
１ ＋２ ＋＋
…
２
时命题也成立。
ｎ
ｘ１
２
ｘ２
＋ｘ２ ＝ （
ｘ１
２
２ｘ１
槡
ｘ２
） ＋ （
２
ｘ２
）
ｘ１
２
槡
槡
ｘ２
．ｘ２ ＝
槡
２
ｘ
同理
ｘ２
ｘ３ ＋ｘ３ ２ｘ２
…， ｘｎ ２ ｎ－１
例 ：求证当 ｎ ３ｎ Ｎ 时， １＋ １ 。
＜ｎ ｎ（ （ ∈ ）
３ ３
证明： 当 时，１ １ ） ４ ） ６４２７ ｎ＝３ ＋ ＝ ＜ ＝
８１
＝３，原不等式成立。２７
）
（３（＋ｘｎ ２ｘｎ－１
假设ｎ＝ｋ时原不等式成立，即：（１＋
１
ｋ
ｘｎ ２ ｘ１
＋ｘ１ ２ｘｎ
立，则
ｋ
１
）＜ｋ成
２．４ 反证法用反证法证明不等式是解决数学问题的一种重
要
方法，在不等式的证明中也有广泛的应用，用反证法证明不等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正 确的。 例 ：证明不等式，设 都是小于 的正数，求
ａｂｃｄ １ ４
证 （ ）、 （ ）、 （ ）、 （ ）这四个的
４ａ１－ｂ ４ｂ１－ｃ ４ｃ１－ｄ ４ｄ１－ａ
积不可能都大于 。
１
证明 用反证法，假设这四个的积都大于 ， １
由 （ ） 得 ２ （ ） １ ＞１ 槡 １－ ＞
把以上ｎ个不等式相加并化简，即得原不等式。技巧：利用一些简单的不等式相加（或相乘），推出一个比较复杂的不
等式，这是一种证明不等式的常用
技巧。
（
１＋ １
ｋ＋１
ｋ
ｋ＋１
（
） （
＝１＋
ｋ
ｋ＋１
）（ ｋ＋１）
１＋ １
＜１＋
＜ｋ１＋
１
ｋ）（ ｋ＋１）
１
１＋
１ ｋ
（ ｋ＋１） ｋ＋１
即当ｎ＝ｋ＋１时，原不等式也成立，所以原不等式对 大于等于３的自然数都成立。
２．６ 根的判别式法当所给的函数为分式形式，经变形后，
可化成二次
函数时，可利用判别式的性质求出函数的极值和最值。
＝ｋ＋
＜ｋ＋１
，
６ 例
，求证 槡２＋１! ｘｆｘ－１：已知函数 （） － ＝ ｘ＋１ ２
２
ｆ ｘ
（）!槡２－１。
２
证明：设
（）
ｙ＝ｆｘ ＝
ｘ－１
４ａ１－ｂ同理得２ 槡ｂ１－ｃ＞１ ２ 槡ｃ１－ｄ＞１ ２槡ｄ１－ａ＞１
（），（）
（
（）；
＋２槡ｄ１－ａ＞４而另一方面∵ａ＞００＜ｂ＜
；
１∴１－ｂ＞０
（）（） ∴２ 槡ａ１－ｂ!ａ＋１－ｂ（）（）
同理２ 槡ｂ１－ｃ!ｂ＋１－ｃ（）（） ２ 槡ｃ１－ｄ!ｃ＋１－ｄ（）（） ２ 槡ｄ１－ａ!ｄ＋１－ａ（）（）（）
从而２ 槡ａ１－ｂ＋２ 槡ｂ１－ｃ＋２ 槡ｃ１－ｄ（）
＋２ 槡ｄ１－ａ!４
５２
从而２ 槡ａ１－ｂ＋２ 槡ｂ１－ｃ＋２ 槡ｃ１－ｄ）（
： ２
， （ ）
∵ｘ ∈Ｒ ∴ ＝１－４ｙｙ＋１ ０
４ｙ＋１ ０
整理得
ｘ＋１
２
ｙｘ －ｘ＋ｙ＋１＝０
，即
－４ｙ －
２
）（）（）
∴４ｙ ＋４ｙ－１!０
２
－ ２
槡２＋１! ｙ
!槡２－１
２
即 槡２＋１! （）!槡２－１
２．７
－ ２ ｆｘ 三角代换法
２
，得证。
有些不等式的证明，除采用上面列举的一般方法
外，还可以运用三角函数的性质，特别是三角函数的定义
域，值域以及三角公式和正弦，余弦定理的运用。
例７ 已知ａ２ ＋ｂ２ ＝ １，ｍ２ ＋ｎ２ ＝ １，求证：ａｍ ＋ｂｎ !１
。
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证明
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， ， ２ ２ ２
∵ ａ ２ ＋ｂ ＝１ ｍ ＋ｎ ＝１
!１， 则 ａ !１ ｂ !１ ｍ !１ ｎ ， ， ， 故可设 ， β β 则 （ ）， ａｍ＋ｂｎ＝ｓｉｎｓｉｎα ＋ｃｏｓｃｏｓα ｎ＝ｃｏｓ＝ｃｏｓ－ β β β
但它在现实中却是不可或缺的。当遇到具体问题时，选择什么样的方法证明是解题的关键，通过对不等式证明方法的总结，可以培养良好的分析问题和解决问题的思维能力。
参考文献〔１〕 四川省数学学会普
及工作委员会主编．方程与不等式．四川人民出版社．
ｃｏｓ（
由 余 弦 的 有 界 性， 故
）!１。
ａｍ＋ｂｎ ＝
α－β
檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱 （上接４７页）程改革才能够成功。犹如教育部长周济 济、教育、科技各个方面相对落后，学生的生活基础有 所言：“一个不搞教学的教师，算不上真正的教师；一个 明显差异，我区作为藏族为主的少数民族区域，在学习 不搞科研的教师，成不了第一流的教师；不能将科研成 和生活各个方面有明显的高原特点。由于学生生活节 果转化为生产力的教师，是跟不上时代发展步伐的教 奏的不同与接受能力的差异，教师不能照抄照搬专家 师。”因此，广大基层教师要利用平时的教育教学时间 研究过的教育理论，如果光靠这些理论，就无法提高学 和业余时间，不断学习有关新课程理念，更新自己的知 生的接受能力与理解能力。从另一个方面来说，基层 识体系，不断地反思在教学过程中遇到的实际问题，进 教师始终站在农牧民地区教育的最前线，他们处于不
行教育科学研究与思考，提高自己的教学能力。 同的人文地理位置、面对不同的地方文化、体验不同的
风俗习惯，如果教师能够以自身的实际条件与具体问 ２ 教师从事教育科学研究的意义
题为出发点，对自己每天接触的问题进行调查、研究， ２．１ 教师从事教育科学研究的优势
进行教育科研的目的是解决教育教学的实际问 就可以总结出具有地方特点的教学方法与教学理论，
总结：在现实的世界中，相等是相对的，而不等却是绝对的。譬如在笛卡尔坐标系中的一条直线，直线的上方表示大于这条直线的点，直线下方则表示小于这条直线的点，不等式可以表示一种界限，本身就是一种规律，譬如算数平均数不小于几何平均数等。不等式的证明方法多种多样，并且具有很强的系统性，不是几个例题，几个理论就可以说完的。上面例举的几种方法只是常见的方法，并没有也不可能将所有的方法一一列举。不等式虽然在高中书本上给的内容不多，
〔２〕 李义真，张致和主编．高考数学题型和方法．西安交通大学出版社．
〔３〕 刘典权，陆殿豪，孙明祺编．高中数学重点与难点精析 ．上海交通大学出版社．
〔４〕 常庚哲，李炯生主编．高中数学竞赛教程．江苏教育出版社．
编校 陈华
题 所有这些问题都产生在日常教学实践中
作于真实的教育教学情境之中 天天接触学生 进行教
通过这种方法，可以在学校内部形成一种 “研究热”的
， ，
学习气氛与文化环境，并能潜移默化地影响周围学生， 育教学研究拥有许多优势与条件 第一 教师是第一
。 ，
促使他们从小养成研究意识与能力，并能影响身边的 个能够体验教学问题的人 教师最了解教学的困难 问
， 、 题与需求以及种种障碍 其他教师，促使他们进行相应的研究活动。这种方法 作为基层教师 每天会遇到
。 ，
对开发地方性知识资源，促进教材内容的地方化，实施 各种各样的教学问题 只是没有察觉到或者没有留意
， ， 校本课程有更好的积极意义。 他们其实拥有最鲜活的第一手资料 只要他们提高问 ，
总之，教育科学研究能力已经是二十一世纪教师 题意识 以研究者的心态置身于教学情境中 对各种教
， ，
必备的素质与能力，而不再是可有可无的。基层教师 学问题留心 反思 积累 探究 就可以拥有更多的第一
、 、 、 ， 第二 教 只有积极参与教育科学研究才能适应时代需求，才能 手资料 能为教育研究积累很多良好的条件 。 ， ， 提高自己的综合素质，使新课程改革进行的更彻底。 师是教育教学实践的主体 在平时教育教学的过程中 ， ， 用研究过的理论指导实践、查看问题、检验效果、不断 参考文献 〔〕 改进 可以使研究进行的更彻底 边研究 边改革 既 郑金洲，瞿葆奎，等 中国教育研究新进展： ， 。 ， ， １ ． ２００２．
解决问题 又能及时见成效 而专门进行教育教学研 华东师范大学出版社，
。 ， ２００４． 〔〕 究的专家 却永远没有这样的条件与优势 他们只能是 教育教学基础 高等师范院校公共课程教材 教 ２ ． ． ， ，
人为地组织一些学生或者偶尔性地调查一些学校，以 育科学出版社．２００６．
及通过采访等手段获得材料进行研究 总结规律
，
。
教师工 丰富和发展教育教学理论，促进民族区域的教育发展。
些规律与理论正确与否
，
，
２．２ 育教学实际问题
。 ２００４．
有利于实现教育理论的地方化与丰富化 解决教 〔〕 任恩刚 如何做好课堂教学中的改革 内蒙古大
只有通过教学才能辨别好坏
。
这 〔〕
社，
３
．
钟启泉 新课程理念与创新 高等教育出版
．
，
学出版社出版，
４ ． ．
２００９．
我国是个多民族区域的国家，有些民族区域的经
编校 陈华
５３