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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题
（-13. -1 14. -8 15.
三、解答题 17.解：
1，+?） 16. ②③ 4（1）由已知得 tanA=?3，所以A=在 △ABC中，由余弦定理得
2? 32?，即c2+2c-24=0 3解得c??（舍去），6c=428?4?c2?4ccos（2）有题设可得?CAD=?2，所以?BAD??BAC??CAD??6
1?ABADsin26?1故△ABD面积与△ACD面积的比值为 1ACAD21又△ABC的面积为?4?2sin?BAC?23，所以?ABD的面积为3.
218.解：
（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
P?X?200??2?16?0.2 9036?0.4 9025?7?4?0.4. 9016
P?X?300??P?X?500??
因此X的分布列为
X P 200 300 500 0.2 0.4 0.4 ⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500 当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间?20，,25?，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200≤n?300时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。 19.解：
（1）由题设可得，?ABD??CBD,从而AD?DC 又?ACD是直角三角形，所以?ACD=900 取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO 又由于?ABC是正三角形，故BO?AC 所以?DOB为二面角D?AC?B的平面角 在Rt?AOB中，BO2?AO2?AB2又AB?BD,所以BO2?DO2?BO2?AO2?AB2?BD2，故?DOB=900所以平面ACD?平面ABC
（2）
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由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，
A(1，0，0),B(0，3，0),C(?1，0，0),D(0，0，1)
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的
1，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距2离的
?131?，即E为DB的中点，得E?0，，?.故
?22?2???31?AD???1，0，1?，AC???2，0，0?，AE?????1，2，? 2????x?z?0?nAD?0，??即?设n=?x,y,z?是平面DAE的法向量，则? 31?x?y?z?0??nAE?0，?22??3?可取n=?1,?3,1??
????mAC?0，设m是平面AEC的法向量，则?同理可得m?0,?1,3
??mAE?0，??则cosn,m?nm7? nm77 7所以二面角D-AE-C的余弦值为20.解
（1）设A?x1,y1?,B?x2,y2?,l:x?my?2 由??x?my?22?y?2x2可得y?2my?4?0,则y1y2??4
?yy?y12y22又x1=,x2=,故x1x2=12=4
224因此OA的斜率与OB的斜率之积为所以OA⊥OB
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2y1y2-4==-1 x1x24故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得y1+y2=2m,x1+x2=m?y1+y2?+4=2m2?4 故圆心M的坐标为m+2，m，圆M的半径r??2??m2?2??m2 2由于圆M过点P（4，-2），因此APBP?0,故?x1?4??x2?4???y1?2??y2?2??0 即x1x2?4?x1+x2??y1y2?2?y1?y2??20?0 由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4， 所以2m?m?1?0，解得m?1或m??21. 2当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为10，圆M的方程为
?x?3???y?1?当m??22?10
185?91?-?，圆M的半径为时，直线l的方程为2x?y?4?0，圆心M的坐标为?，，圆M的
4422??229??1?85?方程为?x??+?y+??
4216????21.解：（1）f?x?的定义域为?0，+??.
①若a?0，因为f??=-+aln2＜0，所以不满足题意；
?1??2?12②若a＞0，由f'?x??1?ax?a?知，当x??0,a?时，f'?x?＜0；当x??a，+??时，f'?x?＞0，所xx以f?x?在?0,a?单调递减，在?a，+??单调递增，故x=a是f?x?在x??0，+??的唯一最小值点. 由于f?1??0，所以当且仅当a=1时，f?x??0. 故a=1
（2）由（1）知当x??1，+??时，x?1?lnx＞0 令x=1+1?1ln得?1+nn2?2?1?＜n，从而 ?2 19
11?1??1??1?11ln?1+?+ln?1+2?+???+ln?1+n?＜+2+???+n=1-n＜1
22?2??2??2?22故?1+??1+??1??2??1??1??????1+?＜e 22??2n?1??1?1+3?＞2，所以m的最小值为3. 2??2??2?而?1+??1+22.解：
??1??2??（1）消去参数t得l1的普通方程l1:y?k?x?2?；消去参数m得l2的普通方程l2:y?1?x?2? k?y?k?x?2??22设P（x,y）,由题设得?，消去k得x?y?4?y?0?. 1?y??x?2?k?所以C的普通方程为x2?y2?4?y?0? （2）C的极坐标方程为r2?cosq2?sin2q??4?0＜q＜2pq,?p?
222?rcosq?sinq??4??联立?得cosq?sinq=2?cosq+sinq?.
q?-2=0??r?cosq+sinq??故tan代入r21912sin2q= ，从而cosq=，3101022?cosq-sinq?=4得rx＜?12=5，所以交点M的极径为5. 23.解：
??3,?（1）f?x???2x?1,?3,??1?x?2 x＞2当x＜?1时，f?x??1无解；
当?1?x?2时，由f?x??1得，2x?1?1，解得1?x?2 当x＞2时，由f?x??1解得x＞2. 所以f?x??1的解集为xx?1.
（2）由f?x??x2?x?m得m?x?1?x?2?x2?x，而
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